Elementarmathematik Beispiele

$7 e^{x} = 6 - e^{- x}$

Schritt 1

Addiere $e^{- x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$7 e^{x} + e^{- x} = 6$

Schritt 2

Schreibe $e^{- x}$ als Potenz um.

$7 e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 6$

Schritt 3

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$7 u + u^{- 1} = 6$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 u + \frac{1}{u} = 6$

Schritt 5

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1$

Schritt 5.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 5.2

Multipliziere jeden Term in $7 u + \frac{1}{u} = 6$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere jeden Term in $7 u + \frac{1}{u} = 6$ mit $u$ .

$7 u \cdot u + \frac{1}{u} u = 6 u$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Multipliziere $u$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Bewege $u$ .

$7 (u \cdot u) + \frac{1}{u} u = 6 u$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$7 u^{2} + \frac{1}{u} u = 6 u$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 u^{2} + \frac{1}{u} u = 6 u$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$7 u^{2} + 1 = 6 u$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $6 u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 u^{2} + 1 - 6 u = 0$

Schritt 5.3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.3.3

Setze die Werte $a = 7$ , $b = - 6$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 1)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache.

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Schritt 5.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.4.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 7 \cdot 1$ .

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Schritt 5.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 28$ mit $1$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.3.4.1.3

Subtrahiere $28$ von $36$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.3.4.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.3.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$u = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.3.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 7}$

Schritt 5.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2}}{14}$

Schritt 5.3.4.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{2}}{14}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{2}}{7}$

Schritt 5.3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}, \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$

Schritt 6

Setze $\frac{3 + \sqrt{2}}{7}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$\frac{3 + \sqrt{2}}{7} = e^{x}$

Schritt 7

Löse $\frac{3 + \sqrt{2}}{7} = e^{x}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}$ um.

$e^{x} = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}$

Schritt 7.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

Schritt 7.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 7.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

Schritt 7.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

Schritt 7.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

Schritt 8

Setze $\frac{3 - \sqrt{2}}{7}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$\frac{3 - \sqrt{2}}{7} = e^{x}$

Schritt 9

Löse $\frac{3 - \sqrt{2}}{7} = e^{x}$ .

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Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$ um.

$e^{x} = \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$

Schritt 9.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Schritt 9.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 9.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Schritt 9.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Schritt 10

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7}), \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7}), \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Dezimalform:

$x = - 0.46108045 \dots, - 1.48482968 \dots$