Elementarmathematik Beispiele

$\cos (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$3 x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$3 x = \frac{π}{6}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{6}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{6}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$x = \frac{π}{18}$

Schritt 4

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$3 x = 2 π - \frac{π}{6}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$3 x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 5.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$3 x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 5.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$3 x = \frac{12 π - π}{6}$

Schritt 5.1.5

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$3 x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{11 π}{6}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{11 π}{6}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{11 π}{6}}{3}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{11 π}{6}}{3}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{11 π}{6}}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere $\frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{11 π}{6}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{11 π}{6 \cdot 3}$

Schritt 5.2.3.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$x = \frac{11 π}{18}$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\cos (3 x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\cos (3 x)$ ist $\frac{2 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$