Elementarmathematik Beispiele

$2 x = \sqrt{- 10 x - 4}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{- 10 x - 4} = 2 x$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{- 10 x - 4}}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- 10 x - 4}$ als ${(- 10 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- 10 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(- 10 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 10 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 10 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- 10 x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- 10 x - 4)}^{1} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$- 10 x - 4 = {(2 x)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(2 x)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$- 10 x - 4 = 2^{2} x^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 10 x - 4 = 4 x^{2}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 10 x - 4 - 4 x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 10 x - 4 - 4 x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 4.2.1.1.1

Bewege $- 4$ .

$- 10 x - 4 x^{2} - 4 = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Stelle $- 10 x$ und $- 4 x^{2}$ um.

$- 4 x^{2} - 10 x - 4 = 0$

Schritt 4.2.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$- 2 (2 x^{2}) - 10 x - 4 = 0$

Schritt 4.2.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 10 x$ heraus.

$- 2 (2 x^{2}) - 2 (5 x) - 4 = 0$

Schritt 4.2.1.4

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4$ heraus.

$- 2 (2 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Schritt 4.2.1.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (2 x^{2}) - 2 (5 x)$ heraus.

$- 2 (2 x^{2} + 5 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Schritt 4.2.1.6

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (2 x^{2} + 5 x) - 2 (2)$ heraus.

$- 2 (2 x^{2} + 5 x + 2) = 0$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$- 2 (2 x^{2} + 5 (x) + 2) = 0$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Schreibe $5$ um als $1$ plus $4$

$- 2 (2 x^{2} + (1 + 4) x + 2) = 0$

Schritt 4.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (2 x^{2} + 1 x + 4 x + 2) = 0$

Schritt 4.2.2.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$- 2 (2 x^{2} + x + 4 x + 2) = 0$

Schritt 4.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- 2 ((2 x^{2} + x) + 4 x + 2) = 0$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- 2 (x (2 x + 1) + 2 (2 x + 1)) = 0$

Schritt 4.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$- 2 ((2 x + 1) (x + 2)) = 0$

Schritt 4.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 2 (2 x + 1) (x + 2) = 0$

Schritt 4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 4.4

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 4.4.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 4.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 4.5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 (2 x + 1) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, - 2$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $2 x = \sqrt{- 10 x - 4}$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$