Elementarmathematik Beispiele

$240 = x (x + 7) (18 - 2 x)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$ um.

$x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$

Schritt 2

Vereinfache $x (x + 7) (18 - 2 x)$ .

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Schritt 2.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

Schritt 2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

Schritt 2.1.2.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x^{2} + 7 \cdot x) (18 - 2 x) = 240$

Schritt 2.2

Multipliziere $(x^{2} + 7 x) (18 - 2 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (18 - 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Bringe $18$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$18 \cdot x^{2} + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$18 x^{2} - 2 x^{2} x + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Schritt 2.3.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$18 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Schritt 2.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$18 x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Schritt 2.3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$18 x^{2} - 2 x^{1 + 2} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Schritt 2.3.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $18$ mit $7$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 x (- 2 x) = 240$

Schritt 2.3.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x \cdot x = 240$

Schritt 2.3.1.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.6.1

Bewege $x$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 (x \cdot x) = 240$

Schritt 2.3.1.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x^{2} = 240$

Schritt 2.3.1.7

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 14 x^{2} = 240$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $14 x^{2}$ von $18 x^{2}$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x = 240$

Schritt 3

Subtrahiere $240$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$2 (2 x^{2}) - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 126 x - 240 = 0$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $126 x$ heraus.

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) - 240 = 0$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $- 240$ heraus.

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

Schritt 4.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3})$ heraus.

$2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

Schritt 4.1.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x)$ heraus.

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120) = 0$

Schritt 4.1.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120)$ heraus.

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x - 120) = 0$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$2 (- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120) = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 4.3.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

$q = \pm 1$

Schritt 4.3.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

Schritt 4.3.1.3

Setze $8$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $8$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.3.1.3.1

Setze $8$ in das Polynom ein.

$- 8^{3} + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

Schritt 4.3.1.3.2

Potenziere $8$ mit $3$ .

$- 1 \cdot 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

Schritt 4.3.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $512$ .

$- 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

Schritt 4.3.1.3.4

Potenziere $8$ mit $2$ .

$- 512 + 2 \cdot 64 + 63 \cdot 8 - 120$

Schritt 4.3.1.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$- 512 + 128 + 63 \cdot 8 - 120$

Schritt 4.3.1.3.6

Addiere $- 512$ und $128$ .

$- 384 + 63 \cdot 8 - 120$

Schritt 4.3.1.3.7

Mutltipliziere $63$ mit $8$ .

$- 384 + 504 - 120$

Schritt 4.3.1.3.8

Addiere $- 384$ und $504$ .

$120 - 120$

Schritt 4.3.1.3.9

Subtrahiere $120$ von $120$ .

$0$

Schritt 4.3.1.4

Da $8$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 8$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120}{x - 8}$

Schritt 4.3.1.5

Dividiere $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ durch $x - 8$ .

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Schritt 4.3.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$8$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$63 x$

$120$

Schritt 4.3.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$

Schritt 4.3.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Schritt 4.3.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{3} + 8 x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Schritt 4.3.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Schritt 4.3.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

Schritt 4.3.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

Schritt 4.3.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$48 x$

Schritt 4.3.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x^{2} + 48 x$

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$

Schritt 4.3.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$

Schritt 4.3.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

Schritt 4.3.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $15 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

Schritt 4.3.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							+	$15 x$	-	$120$

Schritt 4.3.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $15 x - 120$

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$

Schritt 4.3.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$
										$0$

Schritt 4.3.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- x^{2} - 6 x + 15$

Schritt 4.3.1.6

Schreibe $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ als eine Menge von Faktoren.

$2 ((x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15)) = 0$

Schritt 4.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

Schritt 6

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 7

Setze $- x^{2} - 6 x + 15$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $- x^{2} - 6 x + 15$ gleich $0$ .

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

Schritt 7.2

Löse $- x^{2} - 6 x + 15 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2.2

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 6$ und $c = 15$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 15)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.3.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 15$ .

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Schritt 7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $15$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.2.3.1.3

Addiere $36$ und $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.2.3.1.4

Schreibe $96$ als $4^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 7.2.3.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $96$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.2.3.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$

Schritt 7.2.3.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$ .

$x = \frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$

Schritt 7.2.3.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$

Schritt 7.2.3.5

Schreibe $- 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$ als $- (3 \pm 2 \sqrt{6})$ um.

$x = - (3 \pm 2 \sqrt{6})$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$ wahr machen.

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

Dezimalform:

$x = 8, - 7.89897948 \dots, 1.89897948 \dots$