Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 2 a x + a^{2} = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2 a$ und $c = a^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 a \pm \sqrt{{(2 a)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot a^{2})}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $4 \cdot 1 \cdot a^{2}$ als ${(2 \cdot 1 a)}^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 a \pm \sqrt{{(2 a)}^{2} - {(2 \cdot (1 a))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 a$ und $b = 2 \cdot 1 a$ .

$x = \frac{- 2 a \pm \sqrt{(2 a + 2 \cdot (1 a)) (2 a - (2 \cdot (1 a)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Faktorisiere $2 a$ aus $2 a + 2 \cdot 1 a$ heraus.

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Schritt 3.1.3.1.1

Faktorisiere $2 a$ aus $2 a$ heraus.

$x = \frac{- 2 a \pm \sqrt{(2 a (1) + 2 \cdot (1 a)) (2 a - (2 \cdot (1 a)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.1.2

Faktorisiere $2 a$ aus $2 \cdot 1 a$ heraus.

$x = \frac{- 2 a \pm \sqrt{(2 a (1) + 2 a (1)) (2 a - (2 \cdot (1 a)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.1.3

Faktorisiere $2 a$ aus $2 a (1) + 2 a (1)$ heraus.

$x = \frac{- 2 a \pm \sqrt{2 a (1 + 1) (2 a - (2 \cdot (1 a)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{- 2 a \pm \sqrt{2 a \cdot (2 (2 a - (2 \cdot (1 a))))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 a \pm \sqrt{4 a (2 a - (2 \cdot (1 a)))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.3.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 a \pm \sqrt{4 a (2 a - (2 a))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 2 a \pm \sqrt{4 a (2 a - 2 a)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4

Subtrahiere $2 a$ von $2 a$ .

$x = \frac{- 2 a \pm \sqrt{4 a \cdot 0}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 a \pm \sqrt{0 a}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $a$ .

$x = \frac{- 2 a \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 a \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 2 a \pm 0}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.8

$- 2 a$ plus or minus $0$ is $- 2 a$ .

$x = \frac{- 2 a}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 a}{2}$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 a$ heraus.

$x = \frac{2 (- a)}{2}$

Schritt 3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{2 (- a)}{2 (1)}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (- a)}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- a}{1}$

Schritt 3.3.2.4

Dividiere $- a$ durch $1$ .

$x = - a$

Schritt 4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - a$ doppelte Wurzeln