Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + x + 11 = 5 x - 8$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x + 11 - 5 x = - 8$

Schritt 1.2

Subtrahiere $5 x$ von $x$ .

$x^{2} - 4 x + 11 = - 8$

Schritt 2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 x + 11 + 8 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $11$ und $8$ .

$x^{2} - 4 x + 19 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 4$ und $c = 19$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 19)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 19$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $19$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $76$ von $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 60}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $- 60$ als $- 1 (60)$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (60)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{60}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $60$ als $2^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $60$ heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (2 \sqrt{15})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i \sqrt{15}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 2 i \sqrt{15}}{2}$ .

$x = 2 \pm i \sqrt{15}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 2 + i \sqrt{15}, 2 - i \sqrt{15}$