Elementarmathematik Beispiele

$x = \frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$ um.

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $1 + 2 e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 2 e^{y}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{y} = x (1 + 2 e^{y})$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $x (1 + 2 e^{y})$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{y} = x \cdot 1 + x (2 e^{y})$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$e^{y} = x + x (2 e^{y})$

Schritt 3.2.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{y} = x + 2 x e^{y}$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $2 x e^{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{y} - 2 x e^{y} = x$

Schritt 4.2

Faktorisiere $e^{y}$ aus $e^{y} - 2 x e^{y}$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$e^{y} \cdot 1 - 2 x e^{y} = x$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere $e^{y}$ aus $- 2 x e^{y}$ heraus.

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x) = x$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $e^{y}$ aus $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x)$ heraus.

$e^{y} (1 - 2 x) = x$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $e^{y} (1 - 2 x) = x$ durch $1 - 2 x$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{y} (1 - 2 x) = x$ durch $1 - 2 x$ .

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - 2 x$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Schritt 4.3.2.1.2

Dividiere $e^{y}$ durch $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Schritt 4.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Schritt 4.5

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 4.5.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Schritt 4.5.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Schritt 4.5.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$