Elementarmathematik Beispiele

${(2^{x + 5} \cdot 2^{- 9})}^{2} = 2$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(2^{x + 5} \cdot 2^{- 9})}^{2}) = \ln (2)$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln ({(2^{x + 5} \cdot 2^{- 9})}^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$2 \ln (2^{x + 5} \cdot 2^{- 9}) = \ln (2)$

Schritt 2.2

Multipliziere $2^{x + 5}$ mit $2^{- 9}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 \ln (2^{x + 5 - 9}) = \ln (2)$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $9$ von $5$ .

$2 \ln (2^{x - 4}) = \ln (2)$

Schritt 2.3

Zerlege $\ln (2^{x - 4})$ durch Herausziehen von $x - 4$ aus dem Logarithmus.

$2 ((x - 4) \ln (2)) = \ln (2)$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $2 ((x - 4) \ln (2))$ .

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x \ln (2) - 4 \ln (2)) = \ln (2)$

Schritt 3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (x \ln (2)) + 2 (- 4 \ln (2)) = \ln (2)$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$2 x \ln (2) - 8 \ln (2) = \ln (2)$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 x \ln (2) - 8 \ln (2) - \ln (2) = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $\ln (2)$ von $- 8 \ln (2)$ .

$2 x \ln (2) - 9 \ln (2) = 0$

Schritt 6

Addiere $9 \ln (2)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x \ln (2) = 9 \ln (2)$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $2 x \ln (2) = 9 \ln (2)$ durch $2 \ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \ln (2) = 9 \ln (2)$ durch $2 \ln (2)$ .

$\frac{2 x \ln (2)}{2 \ln (2)} = \frac{9 \ln (2)}{2 \ln (2)}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x \ln (2)}{2 \ln (2)} = \frac{9 \ln (2)}{2 \ln (2)}$

Schritt 7.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{9 \ln (2)}{2 \ln (2)}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{9 \ln (2)}{2 \ln (2)}$

Schritt 7.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{9 \ln (2)}{2 \ln (2)}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{9 \ln (2)}{2 \ln (2)}$

Schritt 7.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{9}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{9}{2}$

Dezimalform:

$x = 4.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 4 \frac{1}{2}$