Elementarmathematik Beispiele

$| 2 x - 5 | = 3 x^{2}$

Schritt 1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$2 x - 5 = \pm 3 x^{2}$

Schritt 2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$2 x - 5 = 3 x^{2}$

Schritt 2.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 5 - 3 x^{2} = 0$

Schritt 2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4

Setze die Werte $a = - 3$ , $b = 2$ und $c = - 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot - 5)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 3 \cdot - 5}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 3 \cdot - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 \cdot - 5}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 60}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.1.3

Subtrahiere $60$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 56}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe $- 56$ als $- 1 (56)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 56}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (56)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{56}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.1.7

Schreibe $56$ als $2^{2} \cdot 14$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $56$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (14)}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 14}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{14})}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{14}}{2 \cdot - 3}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{14}}{- 6}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{14}}{- 6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{14}}{3}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + i \sqrt{14}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{14}}{3}$

Schritt 2.7

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$2 x - 5 = - 3 x^{2}$

Schritt 2.8

Addiere $3 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 5 + 3 x^{2} = 0$

Schritt 2.9

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$

Schritt 2.9.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$3 x^{2} + 2 (x) - 5 = 0$

Schritt 2.9.2.2

Schreibe $2$ um als $- 3$ plus $5$

$3 x^{2} + (- 3 + 5) x - 5 = 0$

Schritt 2.9.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 3 x + 5 x - 5 = 0$

Schritt 2.9.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} - 3 x) + 5 x - 5 = 0$

Schritt 2.9.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

Schritt 2.9.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 1$ .

$(x - 1) (3 x + 5) = 0$

Schritt 2.10

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$3 x + 5 = 0$

Schritt 2.11

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.11.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.12

Setze $3 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.1

Setze $3 x + 5$ gleich $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Schritt 2.12.2

Löse $3 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 5$

Schritt 2.12.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 5$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 5$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Schritt 2.12.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Schritt 2.12.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Schritt 2.12.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.12.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{3}$

Schritt 2.13

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (3 x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - \frac{5}{3}$

Schritt 2.14

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1 + i \sqrt{14}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{14}}{3}, 1, - \frac{5}{3}$