Elementarmathematik Beispiele

$| x | = x^{2} + x - 3$

Schritt 1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + x - 3 = | x |$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $| x | = x^{2} + x - 3$ um.

$| x | = x^{2} + x - 3$

Schritt 3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x = \pm (x^{2} + x - 3)$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = x^{2} + x - 3$

Schritt 4.2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + x - 3 = x$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x - 3 - x = 0$

Schritt 4.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + x - 3 - x$ .

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Schritt 4.3.2.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$x^{2} + 0 - 3 = 0$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 4.4

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 3$

Schritt 4.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 4.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 4.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 4.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 4.7

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - (x^{2} + x - 3)$

Schritt 4.8

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- (x^{2} + x - 3) = x$

Schritt 4.9

Vereinfache $- (x^{2} + x - 3)$ .

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Schritt 4.9.1

Forme um.

$0 + 0 - (x^{2} + x - 3) = x$

Schritt 4.9.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$- (x^{2} + x - 3) = x$

Schritt 4.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} - x - - 3 = x$

Schritt 4.9.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- x^{2} - x + 3 = x$

Schritt 4.10

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.10.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} - x + 3 - x = 0$

Schritt 4.10.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$- x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Schritt 4.11

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.11.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2} - 2 x + 3$ heraus.

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Schritt 4.11.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) - 2 x + 3 = 0$

Schritt 4.11.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (2 x) + 3 = 0$

Schritt 4.11.1.3

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$- (x^{2}) - (2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 4.11.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (2 x)$ heraus.

$- (x^{2} + 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Schritt 4.11.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + 2 x) - 1 (- 3)$ heraus.

$- (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Schritt 4.11.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.11.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.11.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $2$ ist.

$- 1, 3$

Schritt 4.11.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Schritt 4.11.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 1) (x + 3) = 0$

Schritt 4.12

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 4.13

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.13.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.13.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4.14

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.14.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 4.14.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 4.15

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 1) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 3$

Schritt 4.16

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - 3$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $| x | = x^{2} + x - 3$ nicht erfüllen.

$x = \sqrt{3}, - 3$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \sqrt{3}, - 3$

Dezimalform:

$x = 1.73205080 \dots, - 3$