Elementarmathematik Beispiele

$3 - \sqrt{r + 1} = \sqrt{4 - r}$

Schritt 1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \sqrt{r + 1} = \sqrt{4 - r} - 3$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \sqrt{r + 1})}^{2} = {(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{r + 1}$ als ${(r + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(r + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${(- {(r + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- {(r + 1)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {({(r + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {({(r + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere ${({(r + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${({(r + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$

Schritt 3.2.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${({(r + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(r + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$

Schritt 3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(r + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$

Schritt 3.2.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(r + 1)}^{1} = {(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$

Schritt 3.2.1.5

Vereinfache.

$r + 1 = {(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(\sqrt{4 - r} - 3)}^{2}$ als $(\sqrt{4 - r} - 3) (\sqrt{4 - r} - 3)$ um.

$r + 1 = (\sqrt{4 - r} - 3) (\sqrt{4 - r} - 3)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(\sqrt{4 - r} - 3) (\sqrt{4 - r} - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r + 1 = \sqrt{4 - r} (\sqrt{4 - r} - 3) - 3 (\sqrt{4 - r} - 3)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$r + 1 = \sqrt{4 - r} \sqrt{4 - r} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 (\sqrt{4 - r} - 3)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$r + 1 = \sqrt{4 - r} \sqrt{4 - r} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Multipliziere $\sqrt{4 - r} \sqrt{4 - r}$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt{4 - r}$ mit $1$ .

$r + 1 = {\sqrt{4 - r}}^{1} \sqrt{4 - r} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{4 - r}$ mit $1$ .

$r + 1 = {\sqrt{4 - r}}^{1} {\sqrt{4 - r}}^{1} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r + 1 = {\sqrt{4 - r}}^{1 + 1} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$r + 1 = {\sqrt{4 - r}}^{2} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{4 - r}}^{2}$ als $4 - r$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - r}$ als ${(4 - r)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r + 1 = {({(4 - r)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r + 1 = {(4 - r)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r + 1 = {(4 - r)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r + 1 = {(4 - r)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r + 1 = {(4 - r)}^{1} + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.3.1.2.5

Vereinfache.

$r + 1 = 4 - r + \sqrt{4 - r} \cdot - 3 - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $\sqrt{4 - r}$ .

$r + 1 = 4 - r - 3 \cdot \sqrt{4 - r} - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$r + 1 = 4 - r - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \sqrt{4 - r} + 9$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $4$ und $9$ .

$r + 1 = 13 - r - 3 \sqrt{4 - r} - 3 \sqrt{4 - r}$

Schritt 3.3.1.3.3

Subtrahiere $3 \sqrt{4 - r}$ von $- 3 \sqrt{4 - r}$ .

$r + 1 = 13 - r - 6 \sqrt{4 - r}$

Schritt 4

Löse nach $- 6 \sqrt{4 - r}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $13 - r - 6 \sqrt{4 - r} = r + 1$ um.

$13 - r - 6 \sqrt{4 - r} = r + 1$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $- 6 \sqrt{4 - r}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $13$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- r - 6 \sqrt{4 - r} = r + 1 - 13$

Schritt 4.2.2

Addiere $r$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 \sqrt{4 - r} = r + 1 - 13 + r$

Schritt 4.2.3

Addiere $r$ und $r$ .

$- 6 \sqrt{4 - r} = 2 r + 1 - 13$

Schritt 4.2.4

Subtrahiere $13$ von $1$ .

$- 6 \sqrt{4 - r} = 2 r - 12$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 6 \sqrt{4 - r})}^{2} = {(2 r - 12)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - r}$ als ${(4 - r)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 6 {(4 - r)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 r - 12)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(- 6 {(4 - r)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 6 {(4 - r)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 6)}^{2} {({(4 - r)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 r - 12)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$36 {({(4 - r)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 r - 12)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 - r)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(4 - r)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 r - 12)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$36 {(4 - r)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 r - 12)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$36 {(4 - r)}^{1} = {(2 r - 12)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$36 (4 - r) = {(2 r - 12)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$36 \cdot 4 + 36 (- r) = {(2 r - 12)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.6.1

Mutltipliziere $36$ mit $4$ .

$144 + 36 (- r) = {(2 r - 12)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$144 - 36 r = {(2 r - 12)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(2 r - 12)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(2 r - 12)}^{2}$ als $(2 r - 12) (2 r - 12)$ um.

$144 - 36 r = (2 r - 12) (2 r - 12)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(2 r - 12) (2 r - 12)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$144 - 36 r = 2 r (2 r - 12) - 12 (2 r - 12)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$144 - 36 r = 2 r (2 r) + 2 r \cdot - 12 - 12 (2 r - 12)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$144 - 36 r = 2 r (2 r) + 2 r \cdot - 12 - 12 (2 r) - 12 \cdot - 12$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$144 - 36 r = 2 \cdot 2 r \cdot r + 2 r \cdot - 12 - 12 (2 r) - 12 \cdot - 12$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.3.1.2.1

Bewege $r$ .

$144 - 36 r = 2 \cdot 2 (r \cdot r) + 2 r \cdot - 12 - 12 (2 r) - 12 \cdot - 12$

Schritt 6.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$144 - 36 r = 2 \cdot 2 r^{2} + 2 r \cdot - 12 - 12 (2 r) - 12 \cdot - 12$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$144 - 36 r = 4 r^{2} + 2 r \cdot - 12 - 12 (2 r) - 12 \cdot - 12$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$144 - 36 r = 4 r^{2} - 24 r - 12 (2 r) - 12 \cdot - 12$

Schritt 6.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 12$ .

$144 - 36 r = 4 r^{2} - 24 r - 24 r - 12 \cdot - 12$

Schritt 6.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 12$ .

$144 - 36 r = 4 r^{2} - 24 r - 24 r + 144$

Schritt 6.3.1.3.2

Subtrahiere $24 r$ von $- 24 r$ .

$144 - 36 r = 4 r^{2} - 48 r + 144$

Schritt 7

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 7.1

Da $r$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 r^{2} - 48 r + 144 = 144 - 36 r$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $r$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Addiere $36 r$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 r^{2} - 48 r + 144 + 36 r = 144$

Schritt 7.2.2

Addiere $- 48 r$ und $36 r$ .

$4 r^{2} - 12 r + 144 = 144$

Schritt 7.3

Subtrahiere $144$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 r^{2} - 12 r + 144 - 144 = 0$

Schritt 7.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 r^{2} - 12 r + 144 - 144$ .

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Schritt 7.4.1

Subtrahiere $144$ von $144$ .

$4 r^{2} - 12 r + 0 = 0$

Schritt 7.4.2

Addiere $4 r^{2} - 12 r$ und $0$ .

$4 r^{2} - 12 r = 0$

Schritt 7.5

Faktorisiere $4 r$ aus $4 r^{2} - 12 r$ heraus.

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $4 r$ aus $4 r^{2}$ heraus.

$4 r (r) - 12 r = 0$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere $4 r$ aus $- 12 r$ heraus.

$4 r (r) + 4 r (- 3) = 0$

Schritt 7.5.3

Faktorisiere $4 r$ aus $4 r (r) + 4 r (- 3)$ heraus.

$4 r (r - 3) = 0$

Schritt 7.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$r = 0$

$r - 3 = 0$

Schritt 7.7

Setze $r$ gleich $0$ .

$r = 0$

Schritt 7.8

Setze $r - 3$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 7.8.1

Setze $r - 3$ gleich $0$ .

$r - 3 = 0$

Schritt 7.8.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$r = 3$

Schritt 7.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 r (r - 3) = 0$ wahr machen.

$r = 0, 3$