Elementarmathematik Beispiele

$e^{x} = e^{x^{2} - 12}$

Schritt 1

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$e^{x} = e^{x^{2} - 12}$

Schritt 2

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = x^{2} - 12$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - x^{2} = - 12$

Schritt 3.2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x - x^{2} + 12 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x - x^{2} + 12$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Stelle $x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} + x + 12 = 0$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) + x + 12 = 0$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 12 = 0$

Schritt 3.3.1.4

Schreibe $12$ als $- 1 (- 12)$ um.

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Schritt 3.3.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (- x)$ heraus.

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Schritt 3.3.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} - x) - 1 (- 12)$ heraus.

$- (x^{2} - x - 12) = 0$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3$

Schritt 3.3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Schritt 3.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 4) (x + 3) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 3.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 3.6

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 4) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 4, - 3$