Elementarmathematik Beispiele

$e^{x^{2} - 3} = e^{x - 2}$

Schritt 1

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$e^{x^{2} - 3} = e^{x - 2}$

Schritt 2

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x^{2} - 3 = x - 2$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 - x = - 2$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 - x + 2 = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $- 3$ und $2$ .

$x^{2} - x - 1 = 0$

Schritt 3.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Dezimalform:

$x = 1.61803398 \dots, - 0.61803398 \dots$