Elementarmathematik Beispiele

$\log (x) + \log (x + 6) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x + 6)) = 1$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot x + x \cdot 6) = 1$

Schritt 1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot 6) = 1$

Schritt 1.3.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log (x^{2} + 6 x) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log (x^{2} + 6 x) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{1} = x^{2} + 6 x$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + 6 x = 10^{1}$ um.

$x^{2} + 6 x = 10$

Schritt 3.2

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 6 x - 10 = 0$

Schritt 3.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 6$ und $c = - 10$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 10)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 10$ .

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Schritt 3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 10$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 40}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.3

Addiere $36$ und $40$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.4

Schreibe $76$ als $2^{2} \cdot 19$ um.

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Schritt 3.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $76$ heraus.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$ .

$x = - 3 \pm \sqrt{19}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 3 + \sqrt{19}, - 3 - \sqrt{19}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log (x) + \log (x + 6) = 1$ nicht erfüllen.

$x = - 3 + \sqrt{19}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 3 + \sqrt{19}$

Dezimalform:

$x = 1.35889894 \dots$