Elementarmathematik Beispiele

$\log (x) + \log (2 x - 5) = \log (3)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (2 x - 5)) = \log (3)$

Schritt 1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x (2 x) + x \cdot - 5) = \log (3)$

Schritt 1.2.2

Stelle um.

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\log (2 x \cdot x + x \cdot - 5) = \log (3)$

Schritt 1.2.2.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log (2 x \cdot x - 5 \cdot x) = \log (3)$

Schritt 1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Bewege $x$ .

$\log (2 (x \cdot x) - 5 \cdot x) = \log (3)$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (2 x^{2} - 5 \cdot x) = \log (3)$

$\log (2 x^{2} - 5 x) = \log (3)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$2 x^{2} - 5 x = 3$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $- 5$ um als $1$ plus $- 6$

$2 x^{2} + (1 - 6) x - 3 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3 = 0$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{2} + x - 6 x - 3 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} + x) - 6 x - 3 = 0$

Schritt 3.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 3) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 3.4

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 3.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}, 3$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log (x) + \log (2 x - 5) = \log (3)$ nicht erfüllen.

$x = 3$