Elementarmathematik Beispiele

$\log (x) + \log (2 x) = 5$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (2 x)) = 5$

Schritt 1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\log (2 x \cdot x) = 5$

Schritt 1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Bewege $x$ .

$\log (2 (x \cdot x)) = 5$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (2 x^{2}) = 5$

Schritt 2

Schreibe $\log (2 x^{2}) = 5$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{5} = 2 x^{2}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{2} = 10^{5}$ um.

$2 x^{2} = 10^{5}$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 10^{5}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 10^{5}$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{10^{5}}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{10^{5}}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{10^{5}}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Potenziere $10$ mit $5$ .

$x^{2} = \frac{100000}{2}$

Schritt 3.2.3.2

Dividiere $100000$ durch $2$ .

$x^{2} = 50000$

Schritt 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{50000}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{50000}$ .

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Schritt 3.4.1

Schreibe $50000$ als $100^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $10000$ aus $50000$ heraus.

$x = \pm \sqrt{10000 (5)}$

Schritt 3.4.1.2

Schreibe $10000$ als $100^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{100^{2} \cdot 5}$

Schritt 3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 100 \sqrt{5}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 100 \sqrt{5}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 100 \sqrt{5}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 100 \sqrt{5}, - 100 \sqrt{5}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log (x) + \log (2 x) = 5$ nicht erfüllen.

$x = 100 \sqrt{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 100 \sqrt{5}$

Dezimalform:

$x = 223.60679774 \dots$