Elementarmathematik Beispiele

$\log (2 x - 1) + \log (x + 4) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((2 x - 1) (x + 4)) = 1$

Schritt 1.2

Multipliziere $(2 x - 1) (x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (2 x (x + 4) - 1 (x + 4)) = 1$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 - 1 (x + 4)) = 1$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4) = 1$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\log (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4) = 1$

Schritt 1.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (2 x^{2} + 2 x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4) = 1$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\log (2 x^{2} + 8 x - 1 x - 1 \cdot 4) = 1$

Schritt 1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\log (2 x^{2} + 8 x - x - 1 \cdot 4) = 1$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\log (2 x^{2} + 8 x - x - 4) = 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $x$ von $8 x$ .

$\log (2 x^{2} + 7 x - 4) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log (2 x^{2} + 7 x - 4) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 2 x^{2} + 7 x - 4$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{2} + 7 x - 4 = 10^{1}$ um.

$2 x^{2} + 7 x - 4 = 10$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 7 x - 4 - 10 = 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $10$ von $- 4$ .

$2 x^{2} + 7 x - 14 = 0$

Schritt 3.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 7$ und $c = - 14$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 14)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 14}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 14$ .

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Schritt 3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 14}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 14$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 112}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.3

Addiere $49$ und $112$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{161}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{161}}{4}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{7 - \sqrt{161}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{161}}{4}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log (2 x - 1) + \log (x + 4) = 1$ nicht erfüllen.

$x = - \frac{7 - \sqrt{161}}{4}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{7 - \sqrt{161}}{4}$

Dezimalform:

$x = 1.42214438 \dots$