Elementarmathematik Beispiele

$\log (2 x + 1) = \log (x - 3) + \log (x + 5)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\log (x - 3) + \log (x + 5)$ .

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Schritt 1.1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (2 x + 1) = \log ((x - 3) (x + 5))$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(x - 3) (x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (2 x + 1) = \log (x (x + 5) - 3 (x + 5))$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (2 x + 1) = \log (x \cdot x + x \cdot 5 - 3 (x + 5))$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (2 x + 1) = \log (x \cdot x + x \cdot 5 - 3 x - 3 \cdot 5)$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + x \cdot 5 - 3 x - 3 \cdot 5)$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + 5 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 5)$

Schritt 1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + 5 x - 3 x - 15)$

Schritt 1.1.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $5 x$ .

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + 2 x - 15)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$2 x + 1 = x^{2} + 2 x - 15$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 2 x - 15 = 2 x + 1$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 x - 15 - 2 x = 1$

Schritt 3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 2 x - 15 - 2 x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$x^{2} + 0 - 15 = 1$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} - 15 = 1$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Addiere $15$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 1 + 15$

Schritt 3.3.2

Addiere $1$ und $15$ .

$x^{2} = 16$

Schritt 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\pm \sqrt{16}$ .

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Schritt 3.5.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Schritt 3.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 4$

Schritt 3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 4$

Schritt 3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 4$

Schritt 3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 4$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log (2 x + 1) = \log (x - 3) + \log (x + 5)$ nicht erfüllen.

$x = 4$