Elementarmathematik Beispiele

$\log (2) + 3 \log (x) = 5 \log (y) - \log (5) - 2 \log (z)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\log (2) + 3 \log (x)$ .

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Schritt 1.1.1

Vereinfache $3 \log (x)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (2) + \log (x^{3}) = 5 \log (y) - \log (5) - 2 \log (z)$

Schritt 1.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (2 x^{3}) = 5 \log (y) - \log (5) - 2 \log (z)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $5 \log (y) - \log (5) - 2 \log (z)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Vereinfache $5 \log (y)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (2 x^{3}) = \log (y^{5}) - \log (5) - 2 \log (z)$

Schritt 2.1.1.2

Vereinfache $- 2 \log (z)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (2 x^{3}) = \log (y^{5}) - \log (5) - \log (z^{2})$

Schritt 2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (2 x^{3}) = \log (\frac{y^{5}}{5}) - \log (z^{2})$

Schritt 2.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (2 x^{3}) = \log (\frac{\frac{y^{5}}{5}}{z^{2}})$

Schritt 2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log (2 x^{3}) = \log (\frac{y^{5}}{5} \cdot \frac{1}{z^{2}})$

Schritt 2.1.5

Kombinieren.

$\log (2 x^{3}) = \log (\frac{y^{5} \cdot 1}{5 z^{2}})$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $y^{5}$ mit $1$ .

$\log (2 x^{3}) = \log (\frac{y^{5}}{5 z^{2}})$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$2 x^{3} = \frac{y^{5}}{5 z^{2}}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{3} = \frac{y^{5}}{5 z^{2}}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{3} = \frac{y^{5}}{5 z^{2}}$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{\frac{y^{5}}{5 z^{2}}}{2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{\frac{y^{5}}{5 z^{2}}}{2}$

Schritt 4.1.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{\frac{y^{5}}{5 z^{2}}}{2}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x^{3} = \frac{y^{5}}{5 z^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 4.1.3.2

Kombinieren.

$x^{3} = \frac{y^{5} \cdot 1}{5 z^{2} \cdot 2}$

Schritt 4.1.3.3

Multipliziere.

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Schritt 4.1.3.3.1

Mutltipliziere $y^{5}$ mit $1$ .

$x^{3} = \frac{y^{5}}{5 z^{2} \cdot 2}$

Schritt 4.1.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x^{3} = \frac{y^{5}}{10 z^{2}}$

Schritt 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{y^{5}}{10 z^{2}}}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{y^{5}}{10 z^{2}}}$ .

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Schritt 4.3.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{y^{5}}{10 z^{2}}}$ als $\frac{\sqrt[3]{y^{5}}}{\sqrt[3]{10 z^{2}}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{5}}}{\sqrt[3]{10 z^{2}}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus.

$x = \frac{\sqrt[3]{y^{3} y^{2}}}{\sqrt[3]{10 z^{2}}}$

Schritt 4.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{\sqrt[3]{10 z^{2}}}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $\frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{\sqrt[3]{10 z^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{\sqrt[3]{10 z^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}$

Schritt 4.3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{y \sqrt[3]{y^{2}}}{\sqrt[3]{10 z^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{10 z^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}$

Schritt 4.3.4.2

Potenziere $\sqrt[3]{10 z^{2}}$ mit $1$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}$

Schritt 4.3.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{1 + 2}}$

Schritt 4.3.4.4

Addiere $1$ und $2$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{3}}$

Schritt 4.3.4.5

Schreibe ${\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{3}$ als $10 z^{2}$ um.

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Schritt 4.3.4.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{10 z^{2}}$ als ${(10 z^{2})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{({(10 z^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 4.3.4.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{(10 z^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 4.3.4.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{(10 z^{2})}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 4.3.4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{(10 z^{2})}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 4.3.4.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{{(10 z^{2})}^{1}}$

Schritt 4.3.4.5.5

Vereinfache.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}}{10 z^{2}}$

Schritt 4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{10 z^{2}}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(10 z^{2})}^{2}}$ um.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} \sqrt[3]{{(10 z^{2})}^{2}}}{10 z^{2}}$

Schritt 4.3.5.2

Wende die Produktregel auf $10 z^{2}$ an.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} \sqrt[3]{10^{2} {(z^{2})}^{2}}}{10 z^{2}}$

Schritt 4.3.5.3

Potenziere $10$ mit $2$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} \sqrt[3]{100 {(z^{2})}^{2}}}{10 z^{2}}$

Schritt 4.3.5.4

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.5.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} \sqrt[3]{100 z^{2 \cdot 2}}}{10 z^{2}}$

Schritt 4.3.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} \sqrt[3]{100 z^{4}}}{10 z^{2}}$

Schritt 4.3.5.5

Schreibe $100 z^{4}$ als $z^{3} \cdot (100 z)$ um.

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Schritt 4.3.5.5.1

Faktorisiere $z^{3}$ aus.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} \sqrt[3]{100 (z^{3} z)}}{10 z^{2}}$

Schritt 4.3.5.5.2

Stelle $100$ und $z^{3}$ um.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} \sqrt[3]{z^{3} \cdot 100 z}}{10 z^{2}}$

Schritt 4.3.5.5.3

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} \sqrt[3]{z^{3} \cdot (100 z)}}{10 z^{2}}$

Schritt 4.3.5.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2}} z \sqrt[3]{100 z}}{10 z^{2}}$

Schritt 4.3.5.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \frac{y z \sqrt[3]{y^{2} \cdot 100 z}}{10 z^{2}}$

Schritt 4.3.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $z$ und $z^{2}$ .

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Schritt 4.3.6.1.1

Faktorisiere $z$ aus $y z \sqrt[3]{y^{2} \cdot 100 z}$ heraus.

$x = \frac{z (y \sqrt[3]{y^{2} \cdot 100 z})}{10 z^{2}}$

Schritt 4.3.6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.6.1.2.1

Faktorisiere $z$ aus $10 z^{2}$ heraus.

$x = \frac{z (y \sqrt[3]{y^{2} \cdot 100 z})}{z (10 z)}$

Schritt 4.3.6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{z (y \sqrt[3]{y^{2} \cdot 100 z})}{z (10 z)}$

Schritt 4.3.6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{y \sqrt[3]{y^{2} \cdot 100 z}}{10 z}$

Schritt 4.3.6.2

Bringe $100$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$x = \frac{y \sqrt[3]{100 y^{2} z}}{10 z}$