Elementarmathematik Beispiele

$\log (3 x - 1) + \log (x + 5) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((3 x - 1) (x + 5)) = 1$

Schritt 1.2

Multipliziere $(3 x - 1) (x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (3 x (x + 5) - 1 (x + 5)) = 1$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 - 1 (x + 5)) = 1$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (3 x \cdot x + 3 x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5) = 1$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\log (3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5) = 1$

Schritt 1.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (3 x^{2} + 3 x \cdot 5 - 1 x - 1 \cdot 5) = 1$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\log (3 x^{2} + 15 x - 1 x - 1 \cdot 5) = 1$

Schritt 1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\log (3 x^{2} + 15 x - x - 1 \cdot 5) = 1$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\log (3 x^{2} + 15 x - x - 5) = 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $x$ von $15 x$ .

$\log (3 x^{2} + 14 x - 5) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log (3 x^{2} + 14 x - 5) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 3 x^{2} + 14 x - 5$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3 x^{2} + 14 x - 5 = 10^{1}$ um.

$3 x^{2} + 14 x - 5 = 10$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} + 14 x - 5 - 10 = 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $10$ von $- 5$ .

$3 x^{2} + 14 x - 15 = 0$

Schritt 3.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4

Setze die Werte $a = 3$ , $b = 14$ und $c = - 15$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 15)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $14$ mit $2$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 3 \cdot - 15}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 15$ .

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Schritt 3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 12 \cdot - 15}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 15$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 180}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.3

Addiere $196$ und $180$ .

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{376}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.4

Schreibe $376$ als $2^{2} \cdot 94$ um.

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Schritt 3.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $376$ heraus.

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{4 (94)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 14 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 94}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{94}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 14 \pm 2 \sqrt{94}}{6}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache $\frac{- 14 \pm 2 \sqrt{94}}{6}$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{94}}{3}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{7 - \sqrt{94}}{3}, - \frac{7 + \sqrt{94}}{3}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log (3 x - 1) + \log (x + 5) = 1$ nicht erfüllen.

$x = - \frac{7 - \sqrt{94}}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{7 - \sqrt{94}}{3}$

Dezimalform:

$x = 0.89845323 \dots$