Elementarmathematik Beispiele

$\log (x) = 1 - \log (x - 3)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log (x) + \log (x - 3) = 1$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x - 3)) = 1$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x \cdot x + x \cdot - 3) = 1$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot - 3) = 1$

Schritt 4.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log (x^{2} - 3 x) = 1$

Schritt 5

Schreibe $\log (x^{2} - 3 x) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{1} = x^{2} - 3 x$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - 3 x = 10^{1}$ um.

$x^{2} - 3 x = 10$

Schritt 6.2

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 3 x - 10 = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 5, 2$

Schritt 6.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 5) (x + 2) = 0$

Schritt 6.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 6.5

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 6.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 6.6

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.6.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 6.6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 6.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 2$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $\log (x) = 1 - \log (x - 3)$ nicht erfüllen.

$x = 5$