Elementarmathematik Beispiele

$\log (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (16) - \frac{1}{3} \cdot \log (8) + 1$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\log (16)$ .

$\log (x) = \frac{\log (16)}{2} - \frac{1}{3} \log (8) + 1$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $\log (8)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\log (x) = \frac{\log (16)}{2} - \frac{\log (8)}{3} + 1$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\log (x) = \frac{\log (16)}{2} - \frac{\log (8)}{3} + 1$ mit $6$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\log (x) = \frac{\log (16)}{2} - \frac{\log (8)}{3} + 1$ mit $6$ .

$\log (x) \cdot 6 = \frac{\log (16)}{2} \cdot 6 - \frac{\log (8)}{3} \cdot 6 + 1 \cdot 6$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\log (x)$ .

$6 \log (x) = \frac{\log (16)}{2} \cdot 6 - \frac{\log (8)}{3} \cdot 6 + 1 \cdot 6$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$6 \log (x) = \frac{\log (16)}{2} \cdot (2 (3)) - \frac{\log (8)}{3} \cdot 6 + 1 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \log (x) = \frac{\log (16)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{\log (8)}{3} \cdot 6 + 1 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \log (x) = \log (16) \cdot 3 - \frac{\log (8)}{3} \cdot 6 + 1 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\log (16)$ .

$6 \log (x) = 3 \cdot \log (16) - \frac{\log (8)}{3} \cdot 6 + 1 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\log (8)}{3}$ in den Zähler.

$6 \log (x) = 3 \log (16) + \frac{- \log (8)}{3} \cdot 6 + 1 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$6 \log (x) = 3 \log (16) + \frac{- \log (8)}{3} \cdot (3 (2)) + 1 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \log (x) = 3 \log (16) + \frac{- \log (8)}{3} \cdot (3 \cdot 2) + 1 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$6 \log (x) = 3 \log (16) - \log (8) \cdot 2 + 1 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 \log (x) = 3 \log (16) - 2 \log (8) + 1 \cdot 6$

Schritt 2.3.1.5

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 \log (x) = 3 \log (16) - 2 \log (8) + 6$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $6 \log (x)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (x^{6}) = 3 \log (16) - 2 \log (8) + 6$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Vereinfache $3 \log (16) - 2 \log (8) + 6$ .

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Schritt 4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1.1

Vereinfache $3 \log (16)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (x^{6}) = \log (16^{3}) - 2 \log (8) + 6$

Schritt 4.1.1.2

Potenziere $16$ mit $3$ .

$\log (x^{6}) = \log (4096) - 2 \log (8) + 6$

Schritt 4.1.1.3

Vereinfache $- 2 \log (8)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (x^{6}) = \log (4096) - \log (8^{2}) + 6$

Schritt 4.1.1.4

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\log (x^{6}) = \log (4096) - \log (64) + 6$

Schritt 4.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (x^{6}) = \log (\frac{4096}{64}) + 6$

Schritt 4.1.3

Dividiere $4096$ durch $64$ .

$\log (x^{6}) = \log (64) + 6$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log (x^{6}) - \log (64) = 6$

Schritt 6

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{6}}{64}) = 6$

Schritt 7

Schreibe $\log (\frac{x^{6}}{64}) = 6$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{6} = \frac{x^{6}}{64}$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x^{6}}{64} = 10^{6}$ um.

$\frac{x^{6}}{64} = 10^{6}$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $64$ .

$64 \frac{x^{6}}{64} = 64 \cdot 10^{6}$

Schritt 8.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$64 \frac{x^{6}}{64} = 64 \cdot 10^{6}$

Schritt 8.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{6} = 64 \cdot 10^{6}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Move the decimal point in $64$ to the left by $1$ place and increase the power of $10^{6}$ by $1$ .

$x^{6} = 6.4 \cdot 10^{7}$

Schritt 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{6.4 \cdot 10^{7}}$

Schritt 8.5

Vereinfache $\pm \sqrt[6]{6.4 \cdot 10^{7}}$ .

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Schritt 8.5.1

Schreibe $6.4 \cdot 10^{7}$ als $64 \cdot 10^{6}$ um.

$x = \pm \sqrt[6]{64 \cdot 10^{6}}$

Schritt 8.5.2

Schreibe $\sqrt[6]{64 \cdot 10^{6}}$ als $\sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[6]{10^{6}}$ um.

$x = \pm \sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[6]{10^{6}}$

Schritt 8.5.3

Berechne die Wurzel.

$x = \pm 2 \cdot \sqrt[6]{10^{6}}$

Schritt 8.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2 \cdot 10$

Schritt 8.5.5

Potenziere $10$ mit $1$ .

$x = \pm 2 \cdot 10^{1}$

Schritt 8.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 8.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2 \cdot 10^{1}$

Schritt 8.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2 \cdot 10^{1}$

Schritt 8.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2 \cdot 10^{1}, - 2 \cdot 10^{1}$

Schritt 9

Schließe die Lösungen aus, die $\log (x) = \frac{1}{2} \cdot \log (16) - \frac{1}{3} \cdot \log (8) + 1$ nicht erfüllen.

$x = 2 \cdot 10^{1}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Wissenschaftliche Schreibweise:

$x = 2 \cdot 10^{1}$

Ausmultiplizierte Form:

$x = 20$