Elementarmathematik Beispiele

$\log (x + 3) - \log (2 x - 5) = 3$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x + 3}{2 x - 5}) = 3$

Schritt 2

Schreibe $\log (\frac{x + 3}{2 x - 5}) = 3$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$10^{3} = \frac{x + 3}{2 x - 5}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x + 3 = 10^{3} (2 x - 5)$

Schritt 4

Vereinfache $10^{3} (2 x - 5)$ .

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Schritt 4.1

Potenziere $10$ mit $3$ .

$x + 3 = 1000 (2 x - 5)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 3 = 1000 (2 x) + 1000 \cdot - 5$

Schritt 4.3

Multipliziere.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1000$ .

$x + 3 = 2000 x + 1000 \cdot - 5$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $1000$ mit $- 5$ .

$x + 3 = 2000 x - 5000$

Schritt 5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2000 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 3 - 2000 x = - 5000$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2000 x$ von $x$ .

$- 1999 x + 3 = - 5000$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 1999 x = - 5000 - 3$

Schritt 6.2

Subtrahiere $3$ von $- 5000$ .

$- 1999 x = - 5003$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- 1999 x = - 5003$ durch $- 1999$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- 1999 x = - 5003$ durch $- 1999$ .

$\frac{- 1999 x}{- 1999} = \frac{- 5003}{- 1999}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 1999$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1999 x}{- 1999} = \frac{- 5003}{- 1999}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5003}{- 1999}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{5003}{1999}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{5003}{1999}$

Dezimalform:

$x = 2.50275137 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 2 \frac{1005}{1999}$