Elementarmathematik Beispiele

$\log (x) - \log (x - 3) = \ln (e) - \log (4)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x}{x - 3}) = \ln (e) - \log (4)$

Schritt 2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\log (\frac{x}{x - 3}) = 1 - \log (4)$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log (\frac{x}{x - 3}) + \log (4) = 1$

Schritt 4

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (\frac{x}{x - 3} \cdot 4) = 1$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{x}{x - 3}$ und $4$ .

$\log (\frac{x \cdot 4}{x - 3}) = 1$

Schritt 6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log (\frac{4 x}{x - 3}) = 1$

Schritt 7

Schreibe $\log (\frac{4 x}{x - 3}) = 1$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$10^{1} = \frac{4 x}{x - 3}$

Schritt 8

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$4 x = 10 (x - 3)$

Schritt 9

Vereinfache $10 (x - 3)$ .

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x = 10 x + 10 \cdot - 3$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 3$ .

$4 x = 10 x - 30$

Schritt 10

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1

Subtrahiere $10 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x - 10 x = - 30$

Schritt 10.2

Subtrahiere $10 x$ von $4 x$ .

$- 6 x = - 30$

Schritt 11

Teile jeden Ausdruck in $- 6 x = - 30$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 11.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 x = - 30$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 30}{- 6}$

Schritt 11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 30}{- 6}$

Schritt 11.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 30}{- 6}$

Schritt 11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 11.3.1

Dividiere $- 30$ durch $- 6$ .

$x = 5$