Elementarmathematik Beispiele

$\log (x + 6) - \log (x + 2) = \log (x)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x + 6}{x + 2}) = \log (x)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$\frac{x + 6}{x + 2} = x$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x + 2, 1$

Schritt 3.1.2

Entferne die Klammern.

$x + 2, 1$

Schritt 3.1.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x + 2$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{x + 6}{x + 2} = x$ mit $x + 2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x + 6}{x + 2} = x$ mit $x + 2$ .

$\frac{x + 6}{x + 2} (x + 2) = x (x + 2)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 6}{x + 2} (x + 2) = x (x + 2)$

Schritt 3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x + 6 = x (x + 2)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 6 = x \cdot x + x \cdot 2$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x + 6 = x^{2} + x \cdot 2$

Schritt 3.2.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x + 6 = x^{2} + 2 x$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 2 x = x + 6$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 2 x - x = 6$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$x^{2} + x = 6$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x - 6 = 0$

Schritt 3.3.4

Faktorisiere $x^{2} + x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 3.3.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Schritt 3.3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 3.3.6

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.6.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 3.3.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 3.3.7

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.7.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.3.7.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 2) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 3$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log (x + 6) - \log (x + 2) = \log (x)$ nicht erfüllen.

$x = 2$