Elementarmathematik Beispiele

$\log (x - 3) + \log (2 x - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 3) (2 x - 5)) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 3) (2 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x (2 x - 5) - 3 (2 x - 5)) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x (2 x) + x \cdot - 5 - 3 (2 x - 5)) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x (2 x) + x \cdot - 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\log (2 x \cdot x + x \cdot - 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Schritt 1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\log (2 (x \cdot x) + x \cdot - 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Schritt 1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (2 x^{2} + x \cdot - 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Schritt 1.3.1.3

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log (2 x^{2} - 5 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\log (2 x^{2} - 5 x - 6 x - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 5$ .

$\log (2 x^{2} - 5 x - 6 x + 15) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 5 x$ .

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Die logarithmische Basis $3$ von $1$ ist $0$ .

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = 0 + 6^{\log_{6} (2)}$

Schritt 2.1.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = 0 + 2$

Schritt 2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = 2$

Schritt 3

Schreibe $\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{2} = 2 x^{2} - 11 x + 15$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{2} - 11 x + 15 = 10^{2}$ um.

$2 x^{2} - 11 x + 15 = 10^{2}$

Schritt 4.2

Potenziere $10$ mit $2$ .

$2 x^{2} - 11 x + 15 = 100$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $100$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 11 x + 15 - 100 = 0$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $100$ von $15$ .

$2 x^{2} - 11 x - 85 = 0$

Schritt 4.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.5

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 11$ und $c = - 85$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 85)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.6

Vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1.1

Potenziere $- 11$ mit $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 2 \cdot - 85}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 85$ .

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Schritt 4.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 8 \cdot - 85}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 85$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 680}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.6.1.3

Addiere $121$ und $680$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{801}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.6.1.4

Schreibe $801$ als $3^{2} \cdot 89$ um.

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Schritt 4.6.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $801$ heraus.

$x = \frac{11 \pm \sqrt{9 (89)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.6.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{11 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 89}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{11 \pm 3 \sqrt{89}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{11 \pm 3 \sqrt{89}}{4}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{11 + 3 \sqrt{89}}{4}, \frac{11 - 3 \sqrt{89}}{4}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\log (x - 3) + \log (2 x - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$ nicht erfüllen.

$x = \frac{11 + 3 \sqrt{89}}{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{11 + 3 \sqrt{89}}{4}$

Dezimalform:

$x = 9.82548584 \dots$