Elementarmathematik Beispiele

$\log (x - 2) + \log (3 x + 3) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (3 x + 3)) = 1$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 2) (3 x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x (3 x + 3) - 2 (3 x + 3)) = 1$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x (3 x) + x \cdot 3 - 2 (3 x + 3)) = 1$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log (x (3 x) + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\log (3 x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Schritt 1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\log (3 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Schritt 1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log (3 x^{2} + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Schritt 1.3.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log (3 x^{2} + 3 \cdot x - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\log (3 x^{2} + 3 x - 6 x - 2 \cdot 3) = 1$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\log (3 x^{2} + 3 x - 6 x - 6) = 1$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $6 x$ von $3 x$ .

$\log (3 x^{2} - 3 x - 6) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log (3 x^{2} - 3 x - 6) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 3 x^{2} - 3 x - 6$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3 x^{2} - 3 x - 6 = 10^{1}$ um.

$3 x^{2} - 3 x - 6 = 10$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} - 3 x - 6 - 10 = 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $10$ von $- 6$ .

$3 x^{2} - 3 x - 16 = 0$

Schritt 3.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 3$ und $c = - 16$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 16)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot - 16}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 16$ .

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Schritt 3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot - 16}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 16$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 192}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.3

Addiere $9$ und $192$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{201}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{201}}{6}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + \sqrt{201}}{6}, \frac{3 - \sqrt{201}}{6}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log (x - 2) + \log (3 x + 3) = 1$ nicht erfüllen.

$x = \frac{3 + \sqrt{201}}{6}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{3 + \sqrt{201}}{6}$

Dezimalform:

$x = 2.86290781 \dots$