Elementarmathematik Beispiele

$\log (x^{2} + 16) - \log (x + 4) = 1 + \log (x - 4)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4}) = 1 + \log (x - 4)$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4}) - \log (x - 4) = 1$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2} + 16}{x + 4}}{x - 4}) = 1$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4} \cdot \frac{1}{x - 4}) = 1$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{x^{2} + 16}{x + 4}$ mit $\frac{1}{x - 4}$ .

$\log (\frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}) = 1$

Schritt 6

Schreibe $\log (\frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}) = 1$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$10^{1} = \frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}$

Schritt 7

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x^{2} + 16 = 10 ((x + 4) (x - 4))$

Schritt 8

Vereinfache $10 ((x + 4) (x - 4))$ .

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Schritt 8.1

Multipliziere $(x + 4) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 16 = 10 (x (x - 4) + 4 (x - 4))$

Schritt 8.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4))$

Schritt 8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

Schritt 8.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

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Schritt 8.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 4$ und $4 x$ neu an.

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4)$

Schritt 8.2.1.2

Addiere $- 4 x$ und $4 x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4)$

Schritt 8.2.1.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + 4 \cdot - 4)$

Schritt 8.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x^{2} + 4 \cdot - 4)$

Schritt 8.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x^{2} - 16)$

Schritt 8.2.3

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 8.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 16 = 10 x^{2} + 10 \cdot - 16$

Schritt 8.2.3.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 16$ .

$x^{2} + 16 = 10 x^{2} - 160$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Subtrahiere $10 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 16 - 10 x^{2} = - 160$

Schritt 9.2

Subtrahiere $10 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 16 = - 160$

Schritt 10

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- 9 x^{2} + 4^{2} = - 160$

Schritt 10.2

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$- {(3 x)}^{2} + 4^{2} = - 160$

Schritt 10.3

Stelle $- {(3 x)}^{2}$ und $4^{2}$ um.

$4^{2} - {(3 x)}^{2} = - 160$

Schritt 10.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4$ und $b = 3 x$ .

$(4 + 3 x) (4 - (3 x)) = - 160$

Schritt 10.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$(4 + 3 x) (4 - 3 x) = - 160$

Schritt 11

Vereinfache $(4 + 3 x) (4 - 3 x)$ .

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Schritt 11.1

Multipliziere $(4 + 3 x) (4 - 3 x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 11.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (4 - 3 x) + 3 x (4 - 3 x) = - 160$

Schritt 11.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x (4 - 3 x) = - 160$

Schritt 11.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x \cdot 4 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Schritt 11.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 11.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x \cdot 4 + 3 x (- 3 x)$ .

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Schritt 11.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $4 (- 3 x)$ und $3 x \cdot 4$ neu an.

$4 \cdot 4 - 3 \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x + 3 x (- 3 x) = - 160$

Schritt 11.2.1.2

Addiere $- 3 \cdot 4 x$ und $3 \cdot 4 x$ .

$4 \cdot 4 + 0 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Schritt 11.2.1.3

Addiere $4 \cdot 4$ und $0$ .

$4 \cdot 4 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Schritt 11.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Schritt 11.2.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$16 + 3 \cdot - 3 x \cdot x = - 160$

Schritt 11.2.2.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 11.2.2.3.1

Bewege $x$ .

$16 + 3 \cdot - 3 (x \cdot x) = - 160$

Schritt 11.2.2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$16 + 3 \cdot - 3 x^{2} = - 160$

Schritt 11.2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$16 - 9 x^{2} = - 160$

Schritt 12

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 x^{2} = - 160 - 16$

Schritt 12.2

Subtrahiere $16$ von $- 160$ .

$- 9 x^{2} = - 176$

Schritt 13

Teile jeden Ausdruck in $- 9 x^{2} = - 176$ durch $- 9$ und vereinfache.

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Schritt 13.1

Teile jeden Ausdruck in $- 9 x^{2} = - 176$ durch $- 9$ .

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 176}{- 9}$

Schritt 13.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 9$ .

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Schritt 13.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 176}{- 9}$

Schritt 13.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 176}{- 9}$

Schritt 13.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{176}{9}$

Schritt 14

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{176}{9}}$

Schritt 15

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{176}{9}}$ .

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Schritt 15.1

Schreibe $\sqrt{\frac{176}{9}}$ als $\frac{\sqrt{176}}{\sqrt{9}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{176}}{\sqrt{9}}$

Schritt 15.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.1

Schreibe $176$ als $4^{2} \cdot 11$ um.

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Schritt 15.2.1.1

Faktorisiere $16$ aus $176$ heraus.

$x = \pm \frac{\sqrt{16 (11)}}{\sqrt{9}}$

Schritt 15.2.1.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 11}}{\sqrt{9}}$

Schritt 15.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{\sqrt{9}}$

Schritt 15.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{\sqrt{3^{2}}}$

Schritt 15.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Schritt 16

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 16.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Schritt 16.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Schritt 16.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}, - \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Schritt 17

Schließe die Lösungen aus, die $\log (x^{2} + 16) - \log (x + 4) = 1 + \log (x - 4)$ nicht erfüllen.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Schritt 18

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Dezimalform:

$x = 4.42216638 \dots$