Elementarmathematik Beispiele

$\ln (x - 3) + \ln (x - 2) = \ln (2 x + 24)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 3) (x - 2)) = \ln (2 x + 24)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 3) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x (x - 2) - 3 (x - 2)) = \ln (2 x + 24)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 2 - 3 (x - 2)) = \ln (2 x + 24)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2) = \ln (2 x + 24)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2) = \ln (2 x + 24)$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (x^{2} - 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 2) = \ln (2 x + 24)$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$\ln (x^{2} - 2 x - 3 x + 6) = \ln (2 x + 24)$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 2 x$ .

$\ln (x^{2} - 5 x + 6) = \ln (2 x + 24)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} - 5 x + 6 = 2 x + 24$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 5 x + 6 - 2 x = 24$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 5 x$ .

$x^{2} - 7 x + 6 = 24$

Schritt 3.2

Subtrahiere $24$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 7 x + 6 - 24 = 0$

Schritt 3.3

Subtrahiere $24$ von $6$ .

$x^{2} - 7 x - 18 = 0$

Schritt 3.4

Faktorisiere $x^{2} - 7 x - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 9, 2$

Schritt 3.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 9) (x + 2) = 0$

Schritt 3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 3.6

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 3.7

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 9) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 9, - 2$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x - 3) + \ln (x - 2) = \ln (2 x + 24)$ nicht erfüllen.

$x = 9$