Elementarmathematik Beispiele

$\ln (x - 1) + \ln (x) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 1) x) = 0$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x \cdot x - 1 x) = 0$

Schritt 1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (x^{2} - 1 x) = 0$

Schritt 1.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\ln (x^{2} - x) = 0$

Schritt 2

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{2} - x)} = e^{0}$

Schritt 3

Schreibe $\ln (x^{2} - x) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x^{2} - x$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - x = e^{0}$ um.

$x^{2} - x = e^{0}$

Schritt 4.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{2} - x = 1$

Schritt 4.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x - 1 = 0$

Schritt 4.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.5

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6

Vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x - 1) + \ln (x) = 0$ nicht erfüllen.

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Dezimalform:

$x = 1.61803398 \dots$