Elementarmathematik Beispiele

$\ln (x - 5) + \ln (4) = \ln (x - \ln (2))$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 5) \cdot 4) = \ln (x - \ln (2))$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x \cdot 4 - 5 \cdot 4) = \ln (x - \ln (2))$

Schritt 1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (4 \cdot x - 5 \cdot 4) = \ln (x - \ln (2))$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$\ln (4 x - 20) = \ln (x - \ln (2))$

Schritt 2

Vereinfache $- \ln (2)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (4 x - 20) = \ln (x + \ln (2^{- 1}))$

Schritt 3

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$4 x - 20 = x + \ln (2^{- 1})$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x - 20 = x + \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x - 20 - x = \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $x$ von $4 x$ .

$3 x - 20 = \ln (\frac{1}{2})$

Schritt 4.3

Addiere $20$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = \ln (\frac{1}{2}) + 20$

Schritt 4.4

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \ln (\frac{1}{2}) + 20$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \ln (\frac{1}{2}) + 20$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3} + \frac{20}{3}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3} + \frac{20}{3}$

Schritt 4.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3} + \frac{20}{3}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.4.3.1.1

Schreibe $\frac{\ln (\frac{1}{2})}{3}$ als $\frac{1}{3} \ln (\frac{1}{2})$ um.

$x = \frac{1}{3} \ln (\frac{1}{2}) + \frac{20}{3}$

Schritt 4.4.3.1.2

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (\frac{1}{2})$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$x = \ln ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{20}{3}$

Schritt 4.4.3.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$x = \ln (\frac{1^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}}) + \frac{20}{3}$

Schritt 4.4.3.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}) + \frac{20}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \ln (\frac{1}{2^{\frac{1}{3}}}) + \frac{20}{3}$

Dezimalform:

$x = 6.43561760 \dots$