Elementarmathematik Beispiele

$\ln (x + 2) - \ln (x - 1) = 1$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x + 2}{x - 1}) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\ln (\frac{x + 2}{x - 1}) = 1$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$e^{1} = \frac{x + 2}{x - 1}$

Schritt 3

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x + 2 = e (x - 1)$

Schritt 4

Vereinfache $e (x - 1)$ .

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Schritt 4.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x + 2 = e x + e \cdot - 1$

Schritt 4.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e$ .

$x + 2 = e x - 1 \cdot e$

Schritt 4.2

Schreibe $- 1 e$ als $- e$ um.

$x + 2 = e x - e$

Schritt 5

Subtrahiere $e x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x + 2 - e x = - e$

Schritt 6

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - e x = - e - 2$

Schritt 7

Faktorisiere $x$ aus $x - e x$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x \cdot 1 - e x = - e - 2$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x$ aus $- e x$ heraus.

$x \cdot 1 + x (- e) = - e - 2$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- e)$ heraus.

$x (1 - e) = - e - 2$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $x (1 - e) = - e - 2$ durch $1 - e$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $x (1 - e) = - e - 2$ durch $1 - e$ .

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- e}{1 - e} + \frac{- 2}{1 - e}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - e$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- e}{1 - e} + \frac{- 2}{1 - e}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- e}{1 - e} + \frac{- 2}{1 - e}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- e - 2}{1 - e}$

Schritt 8.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- e$ heraus.

$x = \frac{- (e) - 2}{1 - e}$

Schritt 8.3.3

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \frac{- (e) - 1 (2)}{1 - e}$

Schritt 8.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (e) - 1 (2)$ heraus.

$x = \frac{- (e + 2)}{1 - e}$

Schritt 8.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.5.1

Schreibe $- (e + 2)$ als $- 1 (e + 2)$ um.

$x = \frac{- 1 (e + 2)}{1 - e}$

Schritt 8.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{e + 2}{1 - e}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{e + 2}{1 - e}$

Dezimalform:

$x = 2.74593012 \dots$