Elementarmathematik Beispiele

$\ln (x + 3) = \ln (8) - \ln (x - 4)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x + 3) = \ln (\frac{8}{x - 4})$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x + 3 = \frac{8}{x - 4}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{8}{x - 4} - 3$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x - 4, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$1, x - 4, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x - 4$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $x = \frac{8}{x - 4} - 3$ mit $x - 4$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $x = \frac{8}{x - 4} - 3$ mit $x - 4$ .

$x (x - 4) = \frac{8}{x - 4} (x - 4) - 3 (x - 4)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 4 = \frac{8}{x - 4} (x - 4) - 3 (x - 4)$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 4 = \frac{8}{x - 4} (x - 4) - 3 (x - 4)$

Schritt 3.3.2.2.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 4 x = \frac{8}{x - 4} (x - 4) - 3 (x - 4)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 4$ .

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Schritt 3.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} - 4 x = \frac{8}{x - 4} (x - 4) - 3 (x - 4)$

Schritt 3.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 4 x = 8 - 3 (x - 4)$

Schritt 3.3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 4 x = 8 - 3 x - 3 \cdot - 4$

Schritt 3.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$x^{2} - 4 x = 8 - 3 x + 12$

Schritt 3.3.3.2

Addiere $8$ und $12$ .

$x^{2} - 4 x = - 3 x + 20$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1.1

Addiere $3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 4 x + 3 x = 20$

Schritt 3.4.1.2

Addiere $- 4 x$ und $3 x$ .

$x^{2} - x = 20$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x - 20 = 0$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $x^{2} - x - 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.4.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 20$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 5, 4$

Schritt 3.4.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 5) (x + 4) = 0$

Schritt 3.4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 3.4.5

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.5.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 3.4.5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 3.4.6

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.6.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 3.4.6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 3.4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - 4$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x + 3) = \ln (8) - \ln (x - 4)$ nicht erfüllen.

$x = 5$