Elementarmathematik Beispiele

$\ln (x) = \ln (3 x + 1) - \ln (x + 1)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x) = \ln (\frac{3 x + 1}{x + 1})$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x + 1$

Schritt 3.1.2

Entferne die Klammern.

$1, x + 1$

Schritt 3.1.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x + 1$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$ mit $x + 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$ mit $x + 1$ .

$x (x + 1) = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 1 = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Schritt 3.2.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + x = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + x = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Schritt 3.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + x = 3 x + 1$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1.1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + x - 3 x = 1$

Schritt 3.3.1.2

Subtrahiere $3 x$ von $x$ .

$x^{2} - 2 x = 1$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Schritt 3.3.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.3.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.3.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Schritt 3.3.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x) = \ln (3 x + 1) - \ln (x + 1)$ nicht erfüllen.

$x = 1 + \sqrt{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 1 + \sqrt{2}$

Dezimalform:

$x = 2.41421356 \dots$