Elementarmathematik Beispiele

$\ln (x + 1) + \ln (x - 1) = \ln (8)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x + 1) (x - 1)) = \ln (8)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x (x - 1) + 1 (x - 1)) = \ln (8)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) = \ln (8)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = \ln (8)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = \ln (8)$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) = \ln (8)$

Schritt 1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\ln (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) = \ln (8)$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) = \ln (8)$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (x^{2} - x + x - 1) = \ln (8)$

Schritt 1.3.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$\ln (x^{2} + 0 - 1) = \ln (8)$

Schritt 1.3.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$\ln (x^{2} - 1) = \ln (8)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x^{2} - 1 = 8$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 8 + 1$

Schritt 3.1.2

Addiere $8$ und $1$ .

$x^{2} = 9$

Schritt 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 3.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x + 1) + \ln (x - 1) = \ln (8)$ nicht erfüllen.

$x = 3$