Elementarmathematik Beispiele

$\ln (- x + 1) - \ln (3 x + 5) = \ln (- 6 x + 1)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{- x + 1}{3 x + 5}) = \ln (- 6 x + 1)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$\frac{- x + 1}{3 x + 5} = - 6 x + 1$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 x + 5, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Entferne die Klammern.

$3 x + 5, 1, 1$

Schritt 3.1.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$3 x + 5$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{- x + 1}{3 x + 5} = - 6 x + 1$ mit $3 x + 5$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{- x + 1}{3 x + 5} = - 6 x + 1$ mit $3 x + 5$ .

$\frac{- x + 1}{3 x + 5} (3 x + 5) = - 6 x (3 x + 5) + 1 (3 x + 5)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x + 5$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x + 1}{3 x + 5} (3 x + 5) = - 6 x (3 x + 5) + 1 (3 x + 5)$

Schritt 3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- x + 1 = - 6 x (3 x + 5) + 1 (3 x + 5)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x + 1 = - 6 x (3 x) - 6 x \cdot 5 + 1 (3 x + 5)$

Schritt 3.2.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- x + 1 = - 6 \cdot 3 x \cdot x - 6 x \cdot 5 + 1 (3 x + 5)$

Schritt 3.2.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 6$ .

$- x + 1 = - 6 \cdot 3 x \cdot x - 30 x + 1 (3 x + 5)$

Schritt 3.2.3.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.1.4.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1.4.1.1

Bewege $x$ .

$- x + 1 = - 6 \cdot 3 (x \cdot x) - 30 x + 1 (3 x + 5)$

Schritt 3.2.3.1.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- x + 1 = - 6 \cdot 3 x^{2} - 30 x + 1 (3 x + 5)$

Schritt 3.2.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$- x + 1 = - 18 x^{2} - 30 x + 1 (3 x + 5)$

Schritt 3.2.3.1.5

Mutltipliziere $3 x + 5$ mit $1$ .

$- x + 1 = - 18 x^{2} - 30 x + 3 x + 5$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $- 30 x$ und $3 x$ .

$- x + 1 = - 18 x^{2} - 27 x + 5$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 18 x^{2} - 27 x + 5 = - x + 1$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 18 x^{2} - 27 x + 5 + x = 1$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 27 x$ und $x$ .

$- 18 x^{2} - 26 x + 5 = 1$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 18 x^{2} - 26 x + 5 - 1 = 0$

Schritt 3.3.4

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$- 18 x^{2} - 26 x + 4 = 0$

Schritt 3.3.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 18 x^{2} - 26 x + 4$ heraus.

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Schritt 3.3.5.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 18 x^{2}$ heraus.

$- 2 (9 x^{2}) - 26 x + 4 = 0$

Schritt 3.3.5.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 26 x$ heraus.

$- 2 (9 x^{2}) - 2 (13 x) + 4 = 0$

Schritt 3.3.5.3

Faktorisiere $- 2$ aus $4$ heraus.

$- 2 (9 x^{2}) - 2 (13 x) - 2 \cdot - 2 = 0$

Schritt 3.3.5.4

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (9 x^{2}) - 2 (13 x)$ heraus.

$- 2 (9 x^{2} + 13 x) - 2 \cdot - 2 = 0$

Schritt 3.3.5.5

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (9 x^{2} + 13 x) - 2 (- 2)$ heraus.

$- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2) = 0$

Schritt 3.3.6

Teile jeden Ausdruck in $- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2) = 0$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2) = 0$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 3.3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 (9 x^{2} + 13 x - 2)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Schritt 3.3.6.2.1.2

Dividiere $9 x^{2} + 13 x - 2$ durch $1$ .

$9 x^{2} + 13 x - 2 = \frac{0}{- 2}$

Schritt 3.3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.6.3.1

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

$9 x^{2} + 13 x - 2 = 0$

Schritt 3.3.7

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3.8

Setze die Werte $a = 9$ , $b = 13$ und $c = - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 2)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.9

Vereinfache.

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Schritt 3.3.9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.9.1.1

Potenziere $13$ mit $2$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

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Schritt 3.3.9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.9.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 72}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.9.1.3

Addiere $169$ und $72$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{241}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{- 13 \pm \sqrt{241}}{18}$

Schritt 3.3.10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{13 - \sqrt{241}}{18}, - \frac{13 + \sqrt{241}}{18}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{13 - \sqrt{241}}{18}, - \frac{13 + \sqrt{241}}{18}$

Dezimalform:

$x = 0.14023192 \dots, - 1.58467637 \dots$