Elementarmathematik Beispiele

$\ln (3 x - 4) = \ln (4) - \ln (x - 1)$

Schritt 1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (3 x - 4) = \ln (\frac{4}{x - 1})$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$3 x - 4 = \frac{4}{x - 1}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = \frac{4}{x - 1} + 4$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x - 1, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$1, x - 1, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x - 1$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $3 x = \frac{4}{x - 1} + 4$ mit $x - 1$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $3 x = \frac{4}{x - 1} + 4$ mit $x - 1$ .

$3 x (x - 1) = \frac{4}{x - 1} (x - 1) + 4 (x - 1)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 = \frac{4}{x - 1} (x - 1) + 4 (x - 1)$

Schritt 3.3.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.2.1

Bewege $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 = \frac{4}{x - 1} (x - 1) + 4 (x - 1)$

Schritt 3.3.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 = \frac{4}{x - 1} (x - 1) + 4 (x - 1)$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 x^{2} - 3 x = \frac{4}{x - 1} (x - 1) + 4 (x - 1)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} - 3 x = \frac{4}{x - 1} (x - 1) + 4 (x - 1)$

Schritt 3.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} - 3 x = 4 + 4 (x - 1)$

Schritt 3.3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 3 x = 4 + 4 x + 4 \cdot - 1$

Schritt 3.3.3.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 x = 4 + 4 x - 4$

Schritt 3.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 + 4 x - 4$ .

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Schritt 3.3.3.2.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$3 x^{2} - 3 x = 4 x + 0$

Schritt 3.3.3.2.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$3 x^{2} - 3 x = 4 x$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} - 3 x - 4 x = 0$

Schritt 3.4.1.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 3 x$ .

$3 x^{2} - 7 x = 0$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} - 7 x$ heraus.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$x (3 x) - 7 x = 0$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 7 x$ heraus.

$x (3 x) + x \cdot - 7 = 0$

Schritt 3.4.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x) + x \cdot - 7$ heraus.

$x (3 x - 7) = 0$

Schritt 3.4.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$3 x - 7 = 0$

Schritt 3.4.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.4.5

Setze $3 x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.5.1

Setze $3 x - 7$ gleich $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Schritt 3.4.5.2

Löse $3 x - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.5.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 7$

Schritt 3.4.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 7$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 7$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 3.4.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 3.4.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Schritt 3.4.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (3 x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{7}{3}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (3 x - 4) = \ln (4) - \ln (x - 1)$ nicht erfüllen.

$x = \frac{7}{3}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{7}{3}$

Dezimalform:

$x = 2.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = 2 \frac{1}{3}$