Elementarmathematik Beispiele

$\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((2 x + 5) (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere $(2 x + 5) (x - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (2 x (x - 7) + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Schritt 1.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Schritt 1.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\ln (2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 7$ .

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Addiere $- 14 x$ und $5 x$ .

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - \ln (x^{2}) = 0$

Schritt 2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 35 = - 70$ und deren Summe gleich $b = - 9$ ist.

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Schritt 2.1.3.1.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 x$ heraus.

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 (x) - 35}{x^{2}}) = 0$

Schritt 2.1.3.1.2

Schreibe $- 9$ um als $5$ plus $- 14$

$\ln (\frac{2 x^{2} + (5 - 14) x - 35}{x^{2}}) = 0$

Schritt 2.1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 x - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Schritt 2.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\ln (\frac{(2 x^{2} + 5 x) - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Schritt 2.1.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\ln (\frac{x (2 x + 5) - 7 (2 x + 5)}{x^{2}}) = 0$

Schritt 2.1.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 5$ .

$\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}$

Schritt 4

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$(2 x + 5) (x - 7) = e^{0} (x^{2})$

Schritt 5

Vereinfache $e^{0} (x^{2})$ .

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Schritt 5.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$(2 x + 5) (x - 7) = 1 x^{2}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$(2 x + 5) (x - 7) = x^{2}$

Schritt 6

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(2 x + 5) (x - 7) - x^{2} = 0$

Schritt 6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1

Multipliziere $(2 x + 5) (x - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (x - 7) + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

Schritt 6.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

Schritt 6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Schritt 6.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Schritt 6.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Schritt 6.2.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 7$ .

$2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35 - x^{2} = 0$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 14 x$ und $5 x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 - x^{2} = 0$

Schritt 6.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

Schritt 7

Addiere $35$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 9 x = 35$

Schritt 8

Subtrahiere $35$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

Schritt 9

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 10

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 9$ und $c = - 35$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 35)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 35$ .

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Schritt 11.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 35$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 140}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.1.3

Addiere $81$ und $140$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2 \cdot 1}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2}$

Schritt 12

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}, \frac{9 - \sqrt{221}}{2}$

Schritt 13

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$ nicht erfüllen.

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

Dezimalform:

$x = 11.93303437 \dots$