Elementarmathematik Beispiele

$\ln (2 x^{2} + e x) = 2$

Schritt 1

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (2 x^{2} + e x)} = e^{2}$

Schritt 2

Schreibe $\ln (2 x^{2} + e x) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2} = 2 x^{2} + e x$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{2} + e x = e^{2}$ um.

$2 x^{2} + e x = e^{2}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $e^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + e x - e^{2} = 0$

Schritt 3.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4

Setze die Werte $a = 2$ , $b = e$ und $c = - e^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- e \pm \sqrt{e^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- e^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- e \pm \sqrt{e^{2} - 8 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- e \pm \sqrt{e^{2} + 8 e^{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.2

Addiere $e^{2}$ und $8 e^{2}$ .

$x = \frac{- e \pm \sqrt{9 e^{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.3

Schreibe $9 e^{2}$ als ${(3 e)}^{2}$ um.

$x = \frac{- e \pm \sqrt{{(3 e)}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- e \pm 3 e}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- e \pm 3 e}{4}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{e}{2}, - e$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{e}{2}, - e$

Dezimalform:

$x = 1.35914091 \dots, - 2.71828182 \dots$