Elementarmathematik Beispiele

$\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x} = 2$

Schritt 1

Subtrahiere $\sqrt{1 - x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{1 + x} = 2 - \sqrt{1 - x}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{1 + x}}^{2} = {(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x}$ als ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(1 + x)}^{1} = {(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$1 + x = {(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(2 - \sqrt{1 - x})}^{2}$ als $(2 - \sqrt{1 - x}) (2 - \sqrt{1 - x})$ um.

$1 + x = (2 - \sqrt{1 - x}) (2 - \sqrt{1 - x})$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(2 - \sqrt{1 - x}) (2 - \sqrt{1 - x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + x = 2 (2 - \sqrt{1 - x}) - \sqrt{1 - x} (2 - \sqrt{1 - x})$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + x = 2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{1 - x}) - \sqrt{1 - x} (2 - \sqrt{1 - x})$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 + x = 2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{1 - x}) - \sqrt{1 - x} \cdot 2 - \sqrt{1 - x} (- \sqrt{1 - x})$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$1 + x = 4 + 2 (- \sqrt{1 - x}) - \sqrt{1 - x} \cdot 2 - \sqrt{1 - x} (- \sqrt{1 - x})$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - \sqrt{1 - x} \cdot 2 - \sqrt{1 - x} (- \sqrt{1 - x})$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} - \sqrt{1 - x} (- \sqrt{1 - x})$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Multipliziere $- \sqrt{1 - x} (- \sqrt{1 - x})$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + 1 \sqrt{1 - x} \sqrt{1 - x}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{1 - x}$ mit $1$ .

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 - x} \sqrt{1 - x}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{1 - x}$ mit $1$ .

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {\sqrt{1 - x}}^{1} \sqrt{1 - x}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{1 - x}$ mit $1$ .

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {\sqrt{1 - x}}^{1} {\sqrt{1 - x}}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {\sqrt{1 - x}}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.1.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {\sqrt{1 - x}}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Schreibe ${\sqrt{1 - x}}^{2}$ als $1 - x$ um.

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Schritt 3.3.1.3.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - x}$ als ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {(1 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {(1 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + {(1 - x)}^{1}$

Schritt 3.3.1.3.1.5.5

Vereinfache.

$1 + x = 4 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} + 1 - x$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere $4$ und $1$ .

$1 + x = 5 - 2 \sqrt{1 - x} - 2 \sqrt{1 - x} - x$

Schritt 3.3.1.3.3

Subtrahiere $2 \sqrt{1 - x}$ von $- 2 \sqrt{1 - x}$ .

$1 + x = 5 - 4 \sqrt{1 - x} - x$

Schritt 4

Löse nach $- 4 \sqrt{1 - x}$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $5 - 4 \sqrt{1 - x} - x = 1 + x$ um.

$5 - 4 \sqrt{1 - x} - x = 1 + x$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $- 4 \sqrt{1 - x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 \sqrt{1 - x} - x = 1 + x - 5$

Schritt 4.2.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 \sqrt{1 - x} = 1 + x - 5 + x$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$- 4 \sqrt{1 - x} = x - 4 + x$

Schritt 4.2.4

Addiere $x$ und $x$ .

$- 4 \sqrt{1 - x} = 2 x - 4$

Schritt 5

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- 4 \sqrt{1 - x})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Schritt 6

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - x}$ als ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- 4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(- 4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- 4 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 4)}^{2} {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$16 {({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 {(1 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$16 {(1 - x)}^{1} = {(2 x - 4)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Vereinfache.

$16 (1 - x) = {(2 x - 4)}^{2}$

Schritt 6.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$16 \cdot 1 + 16 (- x) = {(2 x - 4)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 6.2.1.6.1

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$16 + 16 (- x) = {(2 x - 4)}^{2}$

Schritt 6.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$16 - 16 x = {(2 x - 4)}^{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache ${(2 x - 4)}^{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1

Schreibe ${(2 x - 4)}^{2}$ als $(2 x - 4) (2 x - 4)$ um.

$16 - 16 x = (2 x - 4) (2 x - 4)$

Schritt 6.3.1.2

Multipliziere $(2 x - 4) (2 x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 - 16 x = 2 x (2 x - 4) - 4 (2 x - 4)$

Schritt 6.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$16 - 16 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x - 4)$

Schritt 6.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16 - 16 x = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$16 - 16 x = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$16 - 16 x = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Schritt 6.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$16 - 16 x = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$16 - 16 x = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$16 - 16 x = 4 x^{2} - 8 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Schritt 6.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$16 - 16 x = 4 x^{2} - 8 x - 8 x - 4 \cdot - 4$

Schritt 6.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$16 - 16 x = 4 x^{2} - 8 x - 8 x + 16$

Schritt 6.3.1.3.2

Subtrahiere $8 x$ von $- 8 x$ .

$16 - 16 x = 4 x^{2} - 16 x + 16$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4 x^{2} - 16 x + 16 = 16 - 16 x$

Schritt 7.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.2.1

Addiere $16 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 16 x + 16 + 16 x = 16$

Schritt 7.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x^{2} - 16 x + 16 + 16 x$ .

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $- 16 x$ und $16 x$ .

$4 x^{2} + 0 + 16 = 16$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $4 x^{2}$ und $0$ .

$4 x^{2} + 16 = 16$

Schritt 7.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} = 16 - 16$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$4 x^{2} = 0$

Schritt 7.4

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 7.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 7.4.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Schritt 7.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 7.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 7.6

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 7.6.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 7.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 7.6.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$