Elementarmathematik Beispiele

$\csc (x) = 16 \sin (x)$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $\csc (x) = 16 \sin (x)$ durch $\csc (x)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $\csc (x) = 16 \sin (x)$ durch $\csc (x)$ .

$\frac{\csc (x)}{\csc (x)} = \frac{16 \sin (x)}{\csc (x)}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\csc (x)$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\csc (x)}{\csc (x)} = \frac{16 \sin (x)}{\csc (x)}$

Schritt 1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{16 \sin (x)}{\csc (x)}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Separiere Brüche.

$1 = \frac{16}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\csc (x)}$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 = \frac{16}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 1.3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$1 = \frac{16}{1} (\sin (x) \sin (x))$

Schritt 1.3.4

Vereinfache.

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Schritt 1.3.4.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$1 = \frac{16}{1} (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Schritt 1.3.4.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$1 = \frac{16}{1} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Schritt 1.3.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 = \frac{16}{1} {\sin (x)}^{1 + 1}$

Schritt 1.3.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 = \frac{16}{1} \sin^{2} (x)$

Schritt 1.3.5

Dividiere $16$ durch $1$ .

$1 = 16 \sin^{2} (x)$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $16 \sin^{2} (x) = 1$ um.

$16 \sin^{2} (x) = 1$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $16 \sin^{2} (x) = 1$ durch $16$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $16 \sin^{2} (x) = 1$ durch $16$ .

$\frac{16 \sin^{2} (x)}{16} = \frac{1}{16}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 \sin^{2} (x)}{16} = \frac{1}{16}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\sin^{2} (x)$ durch $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{16}$

Schritt 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{16}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{16}}$ .

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Schritt 5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{16}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$ um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$

Schritt 5.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{16}}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Schritt 5.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sin (x) = \pm \frac{1}{4}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

Schritt 6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (x) = - \frac{1}{4}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (x) = \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}$

Schritt 7

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1}{4}$

Schritt 8

Löse in $\sin (x) = \frac{1}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{4})$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Berechne $\arcsin (\frac{1}{4})$ .

$x = 0.25268025$

Schritt 8.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Schritt 8.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.4.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 - 0.25268025$

Schritt 8.4.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Schritt 8.4.3

Subtrahiere $0.25268025$ von $3.14159265$ .

$x = 2.88891239$

Schritt 8.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 8.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.25268025 + 2 π n, 2.88891239 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Löse in $\sin (x) = - \frac{1}{4}$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{1}{4})$

Schritt 9.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.1

Berechne $\arcsin (- \frac{1}{4})$ .

$x = - 0.25268025$

Schritt 9.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265$

Schritt 9.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 9.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265 - 2 π$

Schritt 9.4.2

Der resultierende Winkel von $3.3942729$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265$ .

$x = 3.3942729$

Schritt 9.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 9.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 9.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 9.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 9.6.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.25268025$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.25268025 + 2 π$

Schritt 9.6.2

Subtrahiere $0.25268025$ von $2 π$ .

$6.03050505$

Schritt 9.6.3

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 6.03050505$

Schritt 9.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 3.3942729 + 2 π n, 6.03050505 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0.25268025 + 2 π n, 2.88891239 + 2 π n, 3.3942729 + 2 π n, 6.03050505 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Fasse die Lösungen zusammen.

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Schritt 11.1

Führe $0.25268025 + 2 π n$ und $3.3942729 + 2 π n$ zu $0.25268025 + π n$ zusammen.

$x = 0.25268025 + π n, 2.88891239 + 2 π n, 6.03050505 + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11.2

Führe $2.88891239 + 2 π n$ und $6.03050505 + 2 π n$ zu $2.88891239 + π n$ zusammen.

$x = 0.25268025 + π n, 2.88891239 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$