Elementarmathematik Beispiele

$\ln (\frac{(2 x + 1) (x - 9)}{x^{2}}) = 0$

Schritt 1

Schreibe $\ln (\frac{(2 x + 1) (x - 9)}{x^{2}}) = 0$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2 x + 1) (x - 9)}{x^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$(2 x + 1) (x - 9) = e^{0} (x^{2})$

Schritt 3

Vereinfache $e^{0} (x^{2})$ .

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Schritt 3.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$(2 x + 1) (x - 9) = 1 x^{2}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$(2 x + 1) (x - 9) = x^{2}$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(2 x + 1) (x - 9) - x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $(2 x + 1) (x - 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (x - 9) + 1 (x - 9) - x^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 9 + 1 (x - 9) - x^{2} = 0$

Schritt 4.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9 - x^{2} = 0$

Schritt 4.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9 - x^{2} = 0$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 1 x + 1 \cdot - 9 - x^{2} = 0$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$2 x^{2} - 18 x + 1 x + 1 \cdot - 9 - x^{2} = 0$

Schritt 4.2.2.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 x^{2} - 18 x + x + 1 \cdot - 9 - x^{2} = 0$

Schritt 4.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$2 x^{2} - 18 x + x - 9 - x^{2} = 0$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $- 18 x$ und $x$ .

$2 x^{2} - 17 x - 9 - x^{2} = 0$

Schritt 4.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 17 x - 9 = 0$

Schritt 5

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 17 x = 9$

Schritt 6

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - 17 x - 9 = 0$

Schritt 7

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 17$ und $c = - 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 9)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $- 17$ mit $2$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot 1 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 9$ .

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Schritt 9.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 4 \cdot - 9}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 36}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.3

Addiere $289$ und $36$ .

$x = \frac{17 \pm \sqrt{325}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.4

Schreibe $325$ als $5^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 9.1.4.1

Faktorisiere $25$ aus $325$ heraus.

$x = \frac{17 \pm \sqrt{25 (13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.4.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \frac{17 \pm \sqrt{5^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{17 \pm 5 \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{17 \pm 5 \sqrt{13}}{2}$

Schritt 10

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{17 + 5 \sqrt{13}}{2}, \frac{17 - 5 \sqrt{13}}{2}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{17 + 5 \sqrt{13}}{2}, \frac{17 - 5 \sqrt{13}}{2}$

Dezimalform:

$x = 17.51387818 \dots, - 0.51387818 \dots$