Elementarmathematik Beispiele

$\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x} \geq 1$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x}$ .

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Schritt 1.1

Um $\frac{6}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{6}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{6}{x} \geq 1$

Schritt 1.2

Um $- \frac{6}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{6}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{6}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} \geq 1$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 1) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{6}{x - 1}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{6 x}{(x - 1) x} - \frac{6}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} \geq 1$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{6}{x}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{6 x}{(x - 1) x} - \frac{6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) x$ um.

$\frac{6 x}{x (x - 1)} - \frac{6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 x - 6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x - 6 (x - 1)$ heraus.

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Schritt 1.5.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{6 (x) - 6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Schritt 1.5.1.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6 (x - 1)$ heraus.

$\frac{6 (x) + 6 (- (x - 1))}{x (x - 1)} \geq 1$

Schritt 1.5.1.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (x) + 6 (- (x - 1))$ heraus.

$\frac{6 (x - (x - 1))}{x (x - 1)} \geq 1$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 (x - x - - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{6 (x - x + 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Schritt 1.5.4

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{6 (0 + 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Schritt 1.5.5

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{x (x - 1)} \geq 1$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{6}{x (x - 1)} \geq 1$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $x (x - 1)$ .

$\frac{6}{x (x - 1)} (x (x - 1)) = 1 (x (x - 1))$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x (x - 1)$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{x (x - 1)} (x (x - 1)) = 1 (x (x - 1))$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$6 = 1 (x (x - 1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $1 (x (x - 1))$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.2.1.1.1

Mutltipliziere $x (x - 1)$ mit $1$ .

$6 = x (x - 1)$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 = x \cdot x + x \cdot - 1$

Schritt 3.2.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$6 = x^{2} + x \cdot - 1$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$6 = x^{2} - 1 \cdot x$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$6 = x^{2} - x$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} - x = 6$ um.

$x^{2} - x = 6$

Schritt 4.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $x^{2} - x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 4.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Schritt 4.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 4.5

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.5.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 4.5.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4.6

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.6.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 4.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 2$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{6}{x (x - 1)} - 1$ .

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{6}{x (x - 1)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x (x - 1) = 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 5.2.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.2.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1$

Schritt 5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{6}{(- 4) - 1} - \frac{6}{- 4} \geq 1$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $0.3$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{6}{(- 1) - 1} - \frac{6}{- 1} \geq 1$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $3$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.5$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $0.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{6}{(0.5) - 1} - \frac{6}{0.5} \geq 1$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $- 24$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.4

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 7.4.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{6}{(2) - 1} - \frac{6}{2} \geq 1$

Schritt 7.4.3

Die linke Seite $3$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 7.5.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{6}{(6) - 1} - \frac{6}{6} \geq 1$

Schritt 7.5.3

Die linke Seite $0.2$ ist kleiner als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 3$ Wahr

$x > 3$ Falsch

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 2 \leq x < 0$ oder $1 < x \leq 3$

Schritt 9

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$[- 2, 0) \cup (1, 3]$

Schritt 10