Elementarmathematik Beispiele

$7 e^{6 x} = 4 e^{9 - 3 x}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (7 e^{6 x}) = \ln (4 e^{9 - 3 x})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (7 e^{6 x})$ als $\ln (7) + \ln (e^{6 x})$ um.

$\ln (7) + \ln (e^{6 x}) = \ln (4 e^{9 - 3 x})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (e^{6 x})$ durch Herausziehen von $6 x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (7) + 6 x \ln (e) = \ln (4 e^{9 - 3 x})$

Schritt 2.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (7) + 6 x \cdot 1 = \ln (4 e^{9 - 3 x})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\ln (7) + 6 x = \ln (4 e^{9 - 3 x})$

Schritt 3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (4 e^{9 - 3 x})$ als $\ln (4) + \ln (e^{9 - 3 x})$ um.

$\ln (7) + 6 x = \ln (4) + \ln (e^{9 - 3 x})$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln (e^{9 - 3 x})$ durch Herausziehen von $9 - 3 x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (7) + 6 x = \ln (4) + (9 - 3 x) \ln (e)$

Schritt 3.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\ln (7) + 6 x = \ln (4) + (9 - 3 x) \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $9 - 3 x$ mit $1$ .

$\ln (7) + 6 x = \ln (4) + 9 - 3 x$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (7) - \ln (4) = - 6 x + 9 - 3 x$

Schritt 5

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{7}{4}) = - 6 x + 9 - 3 x$

Schritt 6

Subtrahiere $3 x$ von $- 6 x$ .

$\ln (\frac{7}{4}) = - 9 x + 9$

Schritt 7

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 9 x + 9 = \ln (\frac{7}{4})$

Schritt 8

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 x = \ln (\frac{7}{4}) - 9$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $- 9 x = \ln (\frac{7}{4}) - 9$ durch $- 9$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $- 9 x = \ln (\frac{7}{4}) - 9$ durch $- 9$ .

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{\ln (\frac{7}{4})}{- 9} + \frac{- 9}{- 9}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 9$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{\ln (\frac{7}{4})}{- 9} + \frac{- 9}{- 9}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{7}{4})}{- 9} + \frac{- 9}{- 9}$

Schritt 9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (\frac{7}{4})}{9} + \frac{- 9}{- 9}$

Schritt 9.3.1.2

Dividiere $- 9$ durch $- 9$ .

$x = - \frac{\ln (\frac{7}{4})}{9} + 1$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\ln (\frac{7}{4})}{9} + 1$

Dezimalform:

$x = 0.93782046 \dots$