Elementarmathematik Beispiele

$9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere $9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.\overline{3}$

Schritt 1.3

Setze $- 0.\overline{3}$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.\overline{3}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze $- 0.\overline{3}$ in das Polynom ein.

$9 {(- 0.\overline{3})}^{3} - 12 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

Schritt 1.3.2

Potenziere $- 0.\overline{3}$ mit $3$ .

$9 \cdot - 0.\overline{037} - 12 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{3} - 12 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

Schritt 1.3.4

Potenziere $- 0.\overline{3}$ mit $2$ .

$- 0.\overline{3} - 12 \cdot 0.\overline{1} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $- 12$ mit $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{3} - 1.\overline{3} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

Schritt 1.3.6

Subtrahiere $1.\overline{3}$ von $- 0.\overline{3}$ .

$- 1.\overline{6} - 8 \cdot - 0.\overline{3} - 1$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 0.\overline{3}$ .

$- 1.\overline{6} + 2.\overline{6} - 1$

Schritt 1.3.8

Addiere $- 1.\overline{6}$ und $2.\overline{6}$ .

$1 - 1$

Schritt 1.3.9

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0$

Schritt 1.4

Da $- 0.\overline{3}$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $3 x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1}{3 x + 1}$

Schritt 1.5

Dividiere $9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1$ durch $3 x + 1$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 x$

$1$

$9 x^{3}$

$12 x^{2}$

$8 x$

$1$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $9 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

					$3 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			+	$9 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $9 x^{3} + 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 15 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					-	$15 x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 15 x^{2} - 5 x$

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	-	$1$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x - 1$

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	+	$1$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$9 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$8 x$	-	$1$
			-	$9 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	-	$8 x$
					+	$15 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	+	$1$
										$0$

Schritt 1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$3 x^{2} - 5 x - 1$

Schritt 1.6

Schreibe $9 x^{3} - 12 x^{2} - 8 x - 1$ als eine Menge von Faktoren.

$(3 x + 1) (3 x^{2} - 5 x - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$3 x^{2} - 5 x - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $3 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 4

Setze $3 x^{2} - 5 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $3 x^{2} - 5 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 5 x - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $3 x^{2} - 5 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2.2

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 5$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.3.1.3

Addiere $25$ und $12$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{6}$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{5 + \sqrt{37}}{6}, \frac{5 - \sqrt{37}}{6}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 1) (3 x^{2} - 5 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{3}, \frac{5 + \sqrt{37}}{6}, \frac{5 - \sqrt{37}}{6}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1}{3}, \frac{5 + \sqrt{37}}{6}, \frac{5 - \sqrt{37}}{6}$

Dezimalform:

$x = - 0.\overline{3}, 1.84712708 \dots, - 0.18046042 \dots$