Elementarmathematik Beispiele

$9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus $9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Faktorisiere ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus $9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus $- 10 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 9 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{5}{2}} = 0$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus ${(x + 1)}^{\frac{5}{2}}$ heraus.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 9 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{4}{2}} = 0$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 9 + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})$ heraus.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot (9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{4}{2}} = 0$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ aus ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot (9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{4}{2}}$ heraus.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{4}{2}}) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere $9 - 10 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + {(x + 1)}^{\frac{4}{2}}$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $9$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 9, - 1$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 9) ({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1)) = 0$

Schritt 1.3

Schreibe ${(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$ als ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ um.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 9) ({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1)) = 0$

Schritt 1.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3^{2}) ({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1)) = 0$

Schritt 1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ und $b = 3$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1)) = 0$

Schritt 1.6

Schreibe ${(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$ als ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ um.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1)) = 0$

Schritt 1.7

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1^{2})) = 0$

Schritt 1.8

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ und $b = 1$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1))) = 0$

Schritt 1.8.1.2

Entferne unnötige Klammern.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1)) = 0$

Schritt 1.8.2

Entferne unnötige Klammern.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Schritt 3

Setze ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 3.2

Löse ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4

Setze ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = - 3$

Schritt 4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1.1

Vereinfache ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 1)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x + 1 = {(- 3)}^{2}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.2.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x + 1 = 9$

Schritt 4.2.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9 - 1$

Schritt 4.2.4.2

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$x = 8$

Schritt 5

Setze ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Setze ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

Schritt 5.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1.1

Vereinfache ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x + 1)}^{1} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x + 1 = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x + 1 = 1$

Schritt 5.2.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1 - 1$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$x = 0$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 3) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 8, 0$