Elementarmathematik Beispiele

$9 (9^{x}) - 10 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $9^{x}$ als ${(3^{2})}^{x}$ um.

$9 \cdot {(3^{2})}^{x} - 10 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Schritt 1.2

Schreibe ${(3^{2})}^{x}$ als ${(3^{x})}^{2}$ um.

$9 \cdot {(3^{x})}^{2} - 10 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Schritt 1.3

Es sei $u = 3^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $3^{x}$ .

$9 u^{2} - 10 u + 1 = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot 1 = 9$ und deren Summe gleich $b = - 10$ ist.

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Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 u$ heraus.

$9 u^{2} - 10 u + 1 = 0$

Schritt 1.4.1.2

Schreibe $- 10$ um als $- 1$ plus $- 9$

$9 u^{2} + (- 1 - 9) u + 1 = 0$

Schritt 1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 u^{2} - 1 u - 9 u + 1 = 0$

Schritt 1.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(9 u^{2} - 1 u) - 9 u + 1 = 0$

Schritt 1.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (9 u - 1) - (9 u - 1) = 0$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 u - 1$ .

$(9 u - 1) (u - 1) = 0$

Schritt 1.5

Ersetze alle $u$ durch $3^{x}$ .

$(9 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$9 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

$3^{x} - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $9 \cdot 3^{x} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $9 \cdot 3^{x} - 1$ gleich $0$ .

$9 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $9 \cdot 3^{x} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere $9 \cdot 3^{x}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$3^{2} \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3^{2 + x} - 1 = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3^{2 + x} = 1$

Schritt 3.2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{2 + x}) = \ln (1)$

Schritt 3.2.4

Zerlege $\ln (3^{2 + x})$ durch Herausziehen von $2 + x$ aus dem Logarithmus.

$(2 + x) \ln (3) = \ln (1)$

Schritt 3.2.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \ln (3) + x \ln (3) = \ln (1)$

Schritt 3.2.6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.6.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$2 \ln (3) + x \ln (3) = 0$

Schritt 3.2.7

Stelle $2 \ln (3)$ und $x \ln (3)$ um.

$x \ln (3) + 2 \ln (3) = 0$

Schritt 3.2.8

Subtrahiere $2 \ln (3)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (3) = - 2 \ln (3)$

Schritt 3.2.9

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = - 2 \ln (3)$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.9.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = - 2 \ln (3)$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (3)}$

Schritt 3.2.9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 3.2.9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (3)}$

Schritt 3.2.9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (3)}$

Schritt 3.2.9.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.9.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 3.2.9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (3)}$

Schritt 3.2.9.3.1.2

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$x = - 2$

Schritt 4

Setze $3^{x} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $3^{x} - 1$ gleich $0$ .

$3^{x} - 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $3^{x} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3^{x} = 1$

Schritt 4.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Schritt 4.2.3

Zerlege $\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Schritt 4.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Schritt 4.2.5

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = 0$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = 0$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 4.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 4.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 4.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 4.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.5.3.1

Dividiere $0$ durch $\ln (3)$ .

$x = 0$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(9 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 0$