Elementarmathematik Beispiele

$9 x^{3} + 9 x^{2} - x - 1 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(9 x^{3} + 9 x^{2}) - x - 1 = 0$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$9 x^{2} (x + 1) - (x + 1) = 0$

Schritt 1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$(x + 1) (9 x^{2} - 1) = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$(x + 1) ({(3 x)}^{2} - 1) = 0$

Schritt 1.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x + 1) ({(3 x)}^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 1.5

Faktorisiere.

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Schritt 1.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 x$ und $b = 1$ .

$(x + 1) ((3 x + 1) (3 x - 1)) = 0$

Schritt 1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (3 x + 1) (3 x - 1) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$3 x + 1 = 0$

$3 x - 1 = 0$

Schritt 3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 4

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $3 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 5

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (3 x + 1) (3 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 1, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}$

Dezimalform:

$x = - 1, - 0.\overline{3}, 0.\overline{3}$