Elementarmathematik Beispiele

$8 x^{\frac{2}{3}} - 71 x^{\frac{1}{3}} - 9 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{\frac{2}{3}}$ als ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ um.

$8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 71 x^{\frac{1}{3}} - 9 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = x^{\frac{1}{3}}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{\frac{1}{3}}$ .

$8 u^{2} - 71 u - 9 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 8 \cdot - 9 = - 72$ und deren Summe gleich $b = - 71$ ist.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $- 71$ aus $- 71 u$ heraus.

$8 u^{2} - 71 u - 9 = 0$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe $- 71$ um als $1$ plus $- 72$

$8 u^{2} + (1 - 72) u - 9 = 0$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 u^{2} + 1 u - 72 u - 9 = 0$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$8 u^{2} + u - 72 u - 9 = 0$

Schritt 1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(8 u^{2} + u) - 72 u - 9 = 0$

Schritt 1.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (8 u + 1) - 9 (8 u + 1) = 0$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $8 u + 1$ .

$(8 u + 1) (u - 9) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{3}}$ .

$(8 x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 9) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 9 = 0$

Schritt 3

Setze $8 x^{\frac{1}{3}} + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $8 x^{\frac{1}{3}} + 1$ gleich $0$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $8 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Schritt 3.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(8 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.1.1

Vereinfache ${(8 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $8 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$8^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.2.3.1.1.2

Potenziere $8$ mit $3$ .

$512 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.2.3.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.2.3.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.3.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$512 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.2.3.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$512 x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.2.3.1.1.4

Vereinfache.

$512 x = {(- 1)}^{3}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$512 x = - 1$

Schritt 3.2.4

Teile jeden Ausdruck in $512 x = - 1$ durch $512$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $512 x = - 1$ durch $512$ .

$\frac{512 x}{512} = \frac{- 1}{512}$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $512$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{512 x}{512} = \frac{- 1}{512}$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{512}$

Schritt 3.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{512}$

Schritt 4

Setze $x^{\frac{1}{3}} - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{\frac{1}{3}} - 9$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 9 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{\frac{1}{3}} - 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{\frac{1}{3}} = 9$

Schritt 4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $3$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 9^{3}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.3.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 9^{3}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 9^{3}$

Schritt 4.2.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 9^{3}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Vereinfache.

$x = 9^{3}$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.2.1

Potenziere $9$ mit $3$ .

$x = 729$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(8 x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 9) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{512}, 729$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1}{512}, 729$

Dezimalform:

$x = - 0.00195312 \dots, 729$