Elementarmathematik Beispiele

$8 x^{3} - 27 = 0$

Schritt 1

Addiere $27$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 x^{3} = 27$

Schritt 2

Subtrahiere $27$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x^{3} - 27 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Schreibe $8 x^{3}$ als ${(2 x)}^{3}$ um.

${(2 x)}^{3} - 27 = 0$

Schritt 3.2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

${(2 x)}^{3} - 3^{3} = 0$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 2 x$ und $b = 3$ .

$(2 x - 3) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$(2 x - 3) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 3.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(2 x - 3) (4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Schritt 3.4.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$4 x^{2} + 6 x + 9 = 0$

Schritt 5

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 6

Setze $4 x^{2} + 6 x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $4 x^{2} + 6 x + 9$ gleich $0$ .

$4 x^{2} + 6 x + 9 = 0$

Schritt 6.2

Löse $4 x^{2} + 6 x + 9 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.2.2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = 6$ und $c = 9$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 9)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 9$ .

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $9$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.3

Subtrahiere $144$ von $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.4

Schreibe $- 108$ als $- 1 (108)$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (108)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.7

Schreibe $108$ als $6^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.2.3.1.7.1

Faktorisiere $36$ aus $108$ heraus.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.7.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.1.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{4}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{4}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 3) (4 x^{2} + 6 x + 9) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{2}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{4}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{4}$